Exercice d'arithmétique

C'est illisible.

$p$ est un nombre premier. Si $p>2$, $p$ est impair. On a $2p^2=a^2+b^2$, donc $a^2+b^2=0 \pmod 2$, donc $a+b=0 \pmod 2$, (car $a^2=a \pmod 2$ et $b^2=b \pmod 2$). Donc $a+b \neq p \pmod 2$, car $p$ est impair. Donc, $a+b \neq p$.

Lorsque $p$,premier, est congru à $1$ modulo $4$, un théorème de Fermat affirme qu'il existe $a,b$ entiers naturels tels que $p=a^2+p^2$.
Par ailleurs, il y a une identité (que j'ai oubliée pour le moment) qui permet d'écrire un produit de deux sommes de deux carrés d'entiers comme une somme de deux carrés d'entiers. Ce qui permet de trouver $U,V$ entiers naturels tels que $U^2+V^2=p^2$.

PS:
L'identité retrouvée:
$(a²+b²) (c²+d²)=(ad+bc)² + (ac-bd)^2$

PS2:
(c'est plus ou moins ce que Nodgim a écrit plus haut)

Bonjour Bakil,

Quand j'ai écrit mon premler message, je n'avais pas cherché à résoudre ton problème.

Comme dans son énoncé il était question de montrer qu'un nombre était de la forme $C^2$ ou $2C^2$, j'ai juste pensé au classique

"tout entier non nul s'écrit d'une et une seule façon $mC^2$ avec $m$ sans facteur carré"
et, vu que tu ne t'en étais pas sorti avec les pistes de Nodgim, je t'ai donné cette nouvelle plste.

Ensuite FdP a repris des remarques de Nodgim que tu n'avais pas su exploiter. Du coup j'ai regardé ton problème et constaté qu'il était bien plus simple qu'il avait été cru! Nul besoin de savoir l'identité de Lagrange, moins encore qu'un premier congru à $1$ modulo $4$ est, de façon unique, somme de deux carrés.

Cela explique le "Quelle embrouille!" de mon second message!

Or je constate que tu t'embrouilles avec mes deux messages; tu cherches à utiliser ET l'un ET l'autre:

tu n'as donc pas vu que le second à lui seul donne la solution! Sans doute n'as tu pas bien compris mon "à $2$ près".

Je précise donc:

$2p^2=a^2+b^2$ est équivalent à $(2p-(a+b)) (2p+(a+b)) = (a-b)^2$
Remarque que cette équivalence n'a rien à voir avec le fait que $p$ est premier.

Cette dernière équation se résout aisément si on connaît $d$, le PGCD de $(2p-(a+b))$ et $(2p+(a+b))$:
On pose $(2p-(a+b)):=de$ et $(2p-(a+b))=:df$ ( et donc $d$ et $e$ étrangers (i.e. premiers entre eux)). Alors
$(2p-(a+b)) (2p+(a+b)) = (a-b)^2$ équivaut à $d^2ef=(a-b)^2$; $ef$ est donc un carré et, comme $e$ et $f$ sont étrangers, ils sont eux-mêmes des carrés: $e=E^2$ et $f=F^2$.

Résultat: $2p-(a+b)=dE^2$ (et bien sûr $2p+(a+b)=dF^2$, mais ça, ça ne sert à rien!).

Note que $d$ étant le PGCD de $(2p-(a+b))$ et $(2p+(a+b))$, $d$ divise leur somme $4p$ et leur différence $2(a+b)$.

Je rappelle que tout ce qui précède suppose seulement que $p$ est un entier naturel non nul et que $2p^2=a^2+b^2$.


Venons-en au cas particulier de ton exercice: ET $p$ est premier ET $a$ est différent de $b$

$2p^2=a^2+b^2$ étant symétrique en $a$ et $b$, on peut alors supposer sans perte de généralité que $a<p<b$

Cela écarte $p=2$ comme tu l'as déjà dit (car $2*2^2=a^2+b^2$ implique $a=b=2$).

$p$ ne divise pas $a$ (car $a<p$);
$p$ ne divise pas $b$ (car il diviserait $a^2=2p^2-b^2$, donc $a$);
$p$ ne divise pas $a+b$ (car il diviserait $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=2(p^2+ab)$, donc $ab$ ($p=2$ a été écarté), donc $a$ ou $b$).

$p$ ne divise pas $d$ (car il diviserait $2(a+b)$), donc $d$ et $p$ sont étrangers. Or $d$ divise $4p$, donc $d$ divise $4$.

Et c'est fini: $2p-(a+b)=dE^2=E^2$ ou $2E^2$ ou $(2E)^2$

Cordialement

Paul

Je propose une autre démonstration.

Puisque $a$ et $b$ ont la même parité, $2p^2=a^2+b^2$ est équivalente à $p^2=\left(\dfrac{a+b}2\right)^2+\left(\dfrac{a-b}2\right)^2$.

En utilisant le résultat bien connu concernant les triplets pythagoriciens et puisque $p$ est premier on en déduit qu'il existe deux entiers $x$ et $y$ tels que:

$p=x^2+y^2$, $\left\{\dfrac{a+b}2,\dfrac{a-b}2\right\}=\{x^2-y^2,2xy\}$.

Dans le premier cas $2p-a-b=(2y)^2$, dans le second $2p-a-b=2(x-y)^2$.

Le théorème fondamental concernant les triplets pythagoriciens est rappelé ici: Triplet pythagoricien.

Comme ici $p$ est premier, l'égalité $p=k(x^2+y^2)$ entraîne $k=1$.

Soit $p$ un nombre premier. Supposons qu’il existe deux entiers naturels distincts m
et n tels que :
$p²=\dfrac{n²+m²}{2}$
Montrer qu'il existe a de $\mathbb{N}$ tel que :
$2p-n-m = a²$ ou $2p-n-m = 2a² $