$\ln(2)$ en fraction continue

Il s'agit de connaître suffisamment de décimales pour aller assez loin dans le développement. L'algorithme est simple, il suffit de poser $$a_0 = \lfloor x \rfloor, x_1 = \frac{1}{x-a_0}$$ puis pour tout $i \geq 1$, $$a_{i} = \lfloor x_i \rfloor, x_{i+1} = \frac{1}{x_i-a_i}.$$ Puisque $\log 2$ est irrationnel, la construction ne s'arrête jamais.

P., veux-tu dire qu'il y a une formule fermée ? (Je n'ai pas cet excellent livre et malgré la célérité des achats modernes, je ne l'aurai pas d'ici ce soir.) Cela me surprend car Wolfram annonce qu'Eric Weisstein a calculé 9,7 milliards de décimales ici. Or ce n'est pas le type qui se vanterait d'avoir écrit 9 milliards de termes du développement en série de $\ln(2)$...

Math Coss:

Je pense que P. parle d'un développement irrégulier.
Il en existe pas qu'un seul.

PS:
Rappelons nous que c'est grâce à un tel développement en fraction continue irrégulière mais convergent qu'a été démontré initialement que $\zeta(3)$ est irrationnel.
On ne connait pas complètement le développement en fraction régulière de ce nombre.

Wikipedia parle de fraction continue généralisée:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue_généralisée


Ce sont des expressions formelles qui ne convergent pas nécessairement (il existe des critères de convergence: Je crois que Lambert a utilisé un tel critère pour démontrer que $\pi$ est irrationnel) .
Contrairement aux fractions continues régulières qui, elles, convergent.


Il est bien connu que les nombres qui peuvent s'écrire comme valeur d'une série hypergéométrique (comme $\frac{\ln(1+x)}{x}$) ont un développement en fraction continue généralisée/irrégulière.

Un exemple d'un tel développement:

\begin{align}\int_0^1 \frac{x^{n-1}}{1+x^m}\,dx=\frac{1}{n+\frac{n^2}{m+\frac{(m+n)^2}{m+\frac{(2m+n)^2}{m+\frac{(3m+n)^2}{m+...}}}}}\end{align}

Il faut aussi se rappeler qu'il y a une relation entre une série alternée $\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^ka_k$ et un développement en fraction continue généralisée.

Sur les fractions continues:
http://www.elemathique.com/fraction_continue.php
http://jeandidier.garaud.free.fr/Prose/fracctue.pdf