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La décomposition des nombres premiers

Envoyé par dig 
dig
La décomposition des nombres premiers
il y a quatre mois
Bonjour

Il est connu que si un nombre premier $p$ congru à $1\pmod8$, alors
$p=e'^2+16f'^2=e^2-32f^2$ pour des entiers $e,e',f $ et $ f'$.
Je me demande est-ce qu'il y a des décompositions similaires si $p\equiv 7\pmod 8$ ?
Merci de partager avec moi vos idées sur ce truc.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: La décomposition des nombres premiers
il y a quatre mois
Bonsoir,

ton terme "similaire" est bien vague...
En tout cas, mais tu le sais sûrement, tout entier congru à $7$ modulo $8$ est somme de quatre carrés qui sont tous nécessairement non nuls.

Tout premier congru à $7$ modulo $8$ a-t-il une unique décomposition en somme de $4$ carrés? Eh bien, je ne sais pas!, mais je pense qu'on me donnera très bientôt la réponse winking smiley

Paul
Re: La décomposition des nombres premiers
il y a quatre mois
avatar
Dans le cas de $p\equiv 7\mod{8}$, premier, il n'y a pas unicité de la décomposition en somme de 4 carrés (si cette décomposition existe)

$5^2+3^2+3^2+2^2=6^2+3^2+1^2+1^2=47=5\times 8+7$

PS:
Il me semblait que le théorème des 4 carrés de Lagrange affirmait que tout entier naturel peut s'écrire comme somme de 4 carrés. (cf. [fr.wikipedia.org] )

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: La décomposition des nombres premiers
il y a quatre mois
Je préconise le livre de D. Cox : [www.amazon.fr]

Il répond à ta question (même si elle est posée un peu différemment dans le livre), mais il faut disposer d'un niveau élevé en théorie algébrique des nombres.
Re: La décomposition des nombres premiers
il y a quatre mois
avatar
Un des outils qui peut être sans doute utilisé pour savoir si un nombre premier est par exemple représentable par une expression du type $x^2+ay^2$ est la loi de réciprocité quadratique de Legendre.

Pour qu'un nombre premier $p$ soit représentable par $x^2+ay^2$, avec $x,y$ non nuls, il faut que l'entier $-a$ soit un résidu quadratique modulo $p$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
dig
Re: La décomposition des nombres premiers
il y a quatre mois
Donc, si $p\equiv 7\pmod 8$, alors $\left(\frac{-16}{p}\right)=-1$, alors $p$ n'est pas $p=e'^2+16f'^2$. merci pour vos idées

Dans Cox on a l'étude des premiers de la forme $p=x^2+nx^2$ seulement. Est ce qu'il y a l'étude des premiers de la forme
$p=x^2-ny^2$ ?
Re: La décomposition des nombres premiers
il y a quatre mois
Salut,

Faut peut-être regarder dans les yeux l'anneau $Z[\sqrt{2}]$ !

$\def\G{\mathbb{K}}$
Re: La décomposition des nombres premiers
il y a quatre mois
Non Cox ne traite que le cas $x^2+ny^2$ avec $n$ positif, ce qui le mène à étudier pas mal de théorie algébrique des nombres autour de l'anneau $\mathbb Z[\sqrt{-n}]$, qui est un ordre dans l'anneau des entiers du corps quadratique imaginaire $\mathbb Q(\sqrt{-n})$.

L'équation $x^2-ny^2=p$ est une équation de Pell-Fermat, et mène à l'étude de l'anneau $\mathbb Z[\sqrt{n}]$ qui est cette fois réel. La théorie n'est vraiment pas la même que dans le cas imaginaire, et est même plus dure en général, notamment à cause du fait que le groupe des unités est infini.
dig
Re: La décomposition des nombres premiers
il y a quatre mois
Pmodulo, Donc, si $p\equiv 7\pmod 8$, alors $\left(\frac{2}{p}\right)=1$, donc $p=(a+b\sqrt 2)(a-b\sqrt 2)=a^2-2b^2$. donc de maintenant je quoi que il y a =des nombres premiers $p\equiv 7\pmod 8$ et qui ne sont pas de la forme $p=e-32f^2$( p=9-2.1). donc la question devient est qu'il existe des nombres premiers
$p\equiv 7\pmod 8$ et $p=e-32f^2$?
est qu'il sont infini?!
Re: La décomposition des nombres premiers
il y a quatre mois
Le " … donc $p=(a+b\sqrt 2)(a-b\sqrt 2)$" est bien trop rapide.

$\def\G{\mathbb{K}}$
dig
Re: La décomposition des nombres premiers
il y a quatre mois
Helas ! Pell-Fermat ! ce problème il est difficile à traiter. Merci Poirot
Re: La décomposition des nombres premiers
il y a deux mois
Bonjour,

Tout d'abord je vous présente mes excuses FdP et noix de totos: j'avais totalement oublié ce fil! C'est en lisant tout-à-l'heure un nouveau fil initié par MiKiDe que je m'en souviens et constate que vous m'aviez répondu. Merci donc, avec bien du retard!

Comme je "ne dispose pas d'un niveau élevé en théorie algébrique des nombres" je vais faire des économies en n'achetant pas le Cox winking smiley, d'autant plus que le théorème 385 du Hardy and Wright offert par noix de totos suffit presque à satisfaire ma curiosité.

Ce théorème dit que pour tout $n$ naturel non nul, le nombre de solutions de l'équation $E_n:=(a^2+b^2+c^2+d^2=n;$ inconnue $(a,b,c,d)\in \mathbb{Z^4})$ est $8S_n$ où $S_n$ est la somme des diviseurs naturels de $n$ non multiples de $4$.

Que se passe-t-il dans le cas particulier où $n$ est premier et congru à$-1$ modulo $8$?

On sait que $abcd \neq 0$ et que $S_n=n+1$. Par conséquent, si l'on oublie les signes (autrement dit: si on se restreint à $(a,b,c,d)\in \mathbb{N^{*4}})$, le nombre de solutions de $E'_n:=(a^2+b^2+c^2+d^2=n;$ inconnue $(a,b,c,d)\in \mathbb{N^{*4}})$ est $\dfrac{n+1}{2}$.

Une fois évacuée la question des signes demeure celle de l'ordre:
les $\dfrac{n+1}{2}$ solutions de $E'_n$ se répartissent en trois classes:

Si on ne tient pas compte de l'ordre, la décomposition $n=a^2+b^2+c^2+d^2$ correspond à $\dfrac{4!}{1!1!1!1!}(=24)$ (resp. $\dfrac{4!}{1!1!2!}(=12)$, $\dfrac{4!}{1!3!}(=4)$) solutions de $E'_n$ ssi $(a,b,c,d)$ est solution de $E'_n$ et le cardinal de $\{a,b,c,d\}$ est $4$ (resp.$3$, $2$).

Soient $c_4(n)$ (resp.$c_3(n), c_2(n)$) le nombre de décompositions (sans tenir compte de l'ordre) de $n$ en somme de quatre carrés de naturels tous différents (resp.dont deux exactement sont égaux, dont trois exactement sont égaux).

Il existe donc trois naturels n_4,n_3et n_2 tels que
\dfrac{n+1}{2}=24n_4c_4(n)+12n_3c_3(n)+4n_2c_2(n). Le nombre de décompositions de $n$ (sans tenir compte de l'ordre) est c(n):=c_4(n)+c_3(n)+c_2(n).

Ces remarques me permettent de calculer $c(n)$ pour de (très) petits $n$.


Ainsi $\dfrac{n+1}{2}=24c_4(n)+12c_3(n)+4c_2(n)$

Je conjecture que l'un d'entre vous nous en apprendra plus sur mes n_iet $c_i(n)$.

Cordialement

Paul

Edit: passage barré pour cause de confusion dans mes notations.

P.S:
1) $c_2(n)=0$ si $n=-1$ modulo $24$ et
2) $c_2(n)=1$ modulo $3$ si $n=7$ modulo $24$.

preuve de 1)
$c_2(n)$ est le nombre de solutions de $x^2+3y^2=n$.
Pour que $x^2+3y^2=n$ ait une solution, il faut déjà que la congruence $x^2=-3y^2$ modulo $n$ en ait une, donc que $-3$ soit un carré modulo $n$. Or, si $n=-1$ modulo $24$, $-3$ n'est pas un carré modulo $n$. En effet, alors:
$-1$ est non-carré modulo $n$ car $n=-1$ modulo $4$ et
$3$ est carré modulo $n$ car $n=-1$ modulo $3$ (et donc $n$ est non-carré modulo $3$): la loi de réciprocité quadratique permet de conclure vu que $n$ et $3$ sont tous deux congrus à $-1$ modulo $4$.
Modulo $n$,$-1$ étant non-carré et $3$ étant carré, $-3$ est non-carré.

preuve de 2)
$\dfrac{n+1}{2}=24c_4(n)+12c_3(n)+4c_2(n)$
implique
$\dfrac{n+1}{2}=4c_2(n)$ modulo $12$, soit, vu que $n=7$ modulo $24$,
$4=4c_2(n)$ modulo $12$, soit
$c_2(n)=1$ modulo $3$.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par depasse.
dig
Re: La décomposition des nombres premiers
il y a deux mois
Depasse merci pour vos remarques.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
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