La décomposition des nombres premiers

Bonsoir,

ton terme "similaire" est bien vague...
En tout cas, mais tu le sais sûrement, tout entier congru à $7$ modulo $8$ est somme de quatre carrés qui sont tous nécessairement non nuls.

Tout premier congru à $7$ modulo $8$ a-t-il une unique décomposition en somme de $4$ carrés? Eh bien, je ne sais pas!, mais je pense qu'on me donnera très bientôt la réponse ;-)

Paul

Je préconise le livre de D. Cox : https://www.amazon.fr/Primes-Form-x2-ny2-Multiplication/dp/1118390180/ref=sr_1_2?__mk_fr_FR=ÅMÅŽÕÑ&keywords=David+A.+Cox&qid=1555573937&s=gateway&sr=8-2

Il répond à ta question (même si elle est posée un peu différemment dans le livre), mais il faut disposer d'un niveau élevé en théorie algébrique des nombres.

Non Cox ne traite que le cas $x^2+ny^2$ avec $n$ positif, ce qui le mène à étudier pas mal de théorie algébrique des nombres autour de l'anneau $\mathbb Z[\sqrt{-n}]$, qui est un ordre dans l'anneau des entiers du corps quadratique imaginaire $\mathbb Q(\sqrt{-n})$.

L'équation $x^2-ny^2=p$ est une équation de Pell-Fermat, et mène à l'étude de l'anneau $\mathbb Z[\sqrt{n}]$ qui est cette fois réel. La théorie n'est vraiment pas la même que dans le cas imaginaire, et est même plus dure en général, notamment à cause du fait que le groupe des unités est infini.

Le " … donc $p=(a+b\sqrt 2)(a-b\sqrt 2)$" est bien trop rapide.

Bonjour,

Tout d'abord je vous présente mes excuses FdP et noix de totos: j'avais totalement oublié ce fil! C'est en lisant tout-à-l'heure un nouveau fil initié par MiKiDe que je m'en souviens et constate que vous m'aviez répondu. Merci donc, avec bien du retard!

Comme je "ne dispose pas d'un niveau élevé en théorie algébrique des nombres" je vais faire des économies en n'achetant pas le Cox ;-), d'autant plus que le théorème 385 du Hardy and Wright offert par noix de totos suffit presque à satisfaire ma curiosité.

Ce théorème dit que pour tout $n$ naturel non nul, le nombre de solutions de l'équation $E_n:=(a^2+b^2+c^2+d^2=n;$ inconnue $(a,b,c,d)\in \mathbb{Z^4})$ est $8S_n$ où $S_n$ est la somme des diviseurs naturels de $n$ non multiples de $4$.

Que se passe-t-il dans le cas particulier où $n$ est premier et congru à$-1$ modulo $8$?

On sait que $abcd \neq 0$ et que $S_n=n+1$. Par conséquent, si l'on oublie les signes (autrement dit: si on se restreint à $(a,b,c,d)\in \mathbb{N^{*4}})$, le nombre de solutions de $E'_n:=(a^2+b^2+c^2+d^2=n;$ inconnue $(a,b,c,d)\in \mathbb{N^{*4}})$ est $\dfrac{n+1}{2}$.

Une fois évacuée la question des signes demeure celle de l'ordre:
les $\dfrac{n+1}{2}$ solutions de $E'_n$ se répartissent en trois classes:

Si on ne tient pas compte de l'ordre, la décomposition $n=a^2+b^2+c^2+d^2$ correspond à $\dfrac{4!}{1!1!1!1!}(=24)$ (resp. $\dfrac{4!}{1!1!2!}(=12)$, $\dfrac{4!}{1!3!}(=4)$) solutions de $E'_n$ ssi $(a,b,c,d)$ est solution de $E'_n$ et le cardinal de $\{a,b,c,d\}$ est $4$ (resp.$3$, $2$).

Soient $c_4(n)$ (resp.$c_3(n), c_2(n)$) le nombre de décompositions (sans tenir compte de l'ordre) de $n$ en somme de quatre carrés de naturels tous différents (resp.dont deux exactement sont égaux, dont trois exactement sont égaux).

Il existe donc trois naturels n_4,n_3et n_2 tels que
\dfrac{n+1}{2}=24n_4c_4(n)+12n_3c_3(n)+4n_2c_2(n). Le nombre de décompositions de $n$ (sans tenir compte de l'ordre) est c(n):=c_4(n)+c_3(n)+c_2(n).

Ces remarques me permettent de calculer $c(n)$ pour de (très) petits $n$.

Ainsi $\dfrac{n+1}{2}=24c_4(n)+12c_3(n)+4c_2(n)$

Je conjecture que l'un d'entre vous nous en apprendra plus sur mes n_iet $c_i(n)$.

Cordialement

Paul

Edit: passage barré pour cause de confusion dans mes notations.

P.S:
1) $c_2(n)=0$ si $n=-1$ modulo $24$ et
2) $c_2(n)=1$ modulo $3$ si $n=7$ modulo $24$.

preuve de 1)
$c_2(n)$ est le nombre de solutions de $x^2+3y^2=n$.
Pour que $x^2+3y^2=n$ ait une solution, il faut déjà que la congruence $x^2=-3y^2$ modulo $n$ en ait une, donc que $-3$ soit un carré modulo $n$. Or, si $n=-1$ modulo $24$, $-3$ n'est pas un carré modulo $n$. En effet, alors:
$-1$ est non-carré modulo $n$ car $n=-1$ modulo $4$ et
$3$ est carré modulo $n$ car $n=-1$ modulo $3$ (et donc $n$ est non-carré modulo $3$): la loi de réciprocité quadratique permet de conclure vu que $n$ et $3$ sont tous deux congrus à $-1$ modulo $4$.
Modulo $n$,$-1$ étant non-carré et $3$ étant carré, $-3$ est non-carré.

preuve de 2)
$\dfrac{n+1}{2}=24c_4(n)+12c_3(n)+4c_2(n)$
implique
$\dfrac{n+1}{2}=4c_2(n)$ modulo $12$, soit, vu que $n=7$ modulo $24$,
$4=4c_2(n)$ modulo $12$, soit
$c_2(n)=1$ modulo $3$.