Somme des factorielles impaires
dans Arithmétique
Bonjour à toutes et à tous !
Cela fait longtemps que je ne vous embête plus avec mes questions alors je me permets
Je voulais connaître une (ou plusieurs!) façon de calculer l'expression suivante :
$$ \sum\limits_{i=1}^n \prod\limits_{j=1}^i (2j-1) = 1 + 3 + 3\times 5 + 3\times 5 \times 7 + ...$$
Si vous avez des idées, je suis preneur, je n'en ai aucune !
Merci !
Cela fait longtemps que je ne vous embête plus avec mes questions alors je me permets
Je voulais connaître une (ou plusieurs!) façon de calculer l'expression suivante :
$$ \sum\limits_{i=1}^n \prod\limits_{j=1}^i (2j-1) = 1 + 3 + 3\times 5 + 3\times 5 \times 7 + ...$$
Si vous avez des idées, je suis preneur, je n'en ai aucune !
Merci !
Réponses
-
Ils donnent une récurrence sur https://oeis.org/A099953
-
Ah effectivement
Ils donnent $a(n) = (2n-2)a(n-1)-(2n-3)a(n-2)$ avec $a(1)=0, ~a(2)=1$. Mais la manière de faire n'est pas explicitée... avez-vous une idée ?
J'en ai une aussi de formule de récurrence : $a(n)=a(n-1) + 3\times \cdots \times 2n-1$ :-D
Du coup, pas moyen d'avoir une "formule" ? Ok je vais passer par la matrice $A = \begin{pmatrix}
2n-2 & -(2n-3) \\
1 & 0
\end{pmatrix}$
Elle possède deux valeurs propres $\lambda_1=n-1+\sqrt{n^2+4}$ et $\lambda_2=n-1-\sqrt{n^2+4}$ distinctes.
La matrice de passage est $ P = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & \lambda_2 \\
1 & 1
\end{pmatrix}$ ce qui donne
$A=\dfrac{1}{2\sqrt{n^2+4}} P \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2
\end{pmatrix} P^{-1} $
Je tombe alors sur $A^n = \dfrac{1}{2\sqrt{n^2+4}} \begin{pmatrix}
\lambda_1^{n+1} - \lambda_2^{n+1} & \lambda_1\lambda_2(\lambda_2^n-\lambda_1^n) \\
\lambda_1^{n} - \lambda_2^{n} & \lambda_1\lambda_2(\lambda_2^{n-1}-\lambda_1^{n-1})
\end{pmatrix} $
D'où $\begin{pmatrix}
a(n) \\
a(n-1)
\end{pmatrix} = A^{n-2} \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}$ ce qui me donne
$a(n)= \dfrac{\lambda_1^{n-1}-\lambda_2^{n-1}}{2\sqrt{n^2+4}}$ ... mais c'est faux ^^
Je ne sais pas où je me suis trompé !
Hormis une (ou plusieurs) erreurs, la formule que l'on obtient ne m'intéresse pas trop... Connaissez-vous une autre formule ? :-D
Merci en tout cas. -
Ce calcul avec la matrice $A$ n'a aucun sens puisque $n$ n'est pas une constante!
La relation de récurrence s'obtient en simplifiant $\dfrac{a_n-a_{n-1}}{a_{n-1}-a_{n-2}}$.
Il n'existe probablement pas de formule donnant explicitement $a_n$ en fonction de $n$. -
Il n'existe probablement pas de formule
Merci jandri
J'ai compris pourquoi ce n'était pas possible de faire ce que j'ai fait, quel idiot je fais ! -
Dans la suite voisine https://oeis.org/A076795 , on trouve une formule exacte (très vilaine) et un équivalent.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres