Pas de multiple de trois

On a $u_n=\dfrac{3(n-1)}{2}+\dfrac{(3+(-1)^{n+1})\sqrt{3}}{4}$.

Pour les gens qui comme moi auraient de la peau de saucisson devant les yeux, cela veut dire que les premières valeurs de la suite sont, dans l'ordre :

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26...

Il me semble commode d'introduire la suite qui définit le développement en fraction continue de $1+\sqrt3$ [v_1=1+\sqrt3 \quad\text{et}\quad\forall n\ge1,\ v_{n+1}=\frac{1}{v_n-\lfloor v_n\rfloor}.\]On vérifie par récurrence que $u_n-\lfloor u_n\rfloor=v_n-\lfloor v_n\rfloor$ pour tout $n$. C'est vrai pour $n=1$ ; si c'est vrai pour $n$, alors, à un entier près ($\lfloor u_n\rfloor$ ou $0$), $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$ valent tous deux $\frac{1}{u_n-\lfloor u_n\rfloor}=\frac{1}{v_n-\lfloor v_n\rfloor}$.

Il est classique et facile à vérifier que $(v_n)$ est périodique de période $2$, avec $v_1=1+\sqrt3$ et $v_2=\frac12(1+\sqrt3)$. On en déduit que $\lfloor u_{n+1}\rfloor=\lfloor u_n\rfloor+(1\text{ ou }2)$ – plus précisément, $1$ si $n$ est impair et $2$ si $n$ est pair. Cela donne la relation $\lfloor u_{n+1}\rfloor=\lfloor u_n\rfloor+3$ de Cidrolin.