Fractions continues et inverse

Exemple d'utilisation de cette formule:
On a:
\begin{align}\dfrac{43}{30}=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{4}}}

\end{align} La réduire précédente de $\dfrac{43}{30}$ est :
\begin{align}\dfrac{10}{7}=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3}}

\end{align} On reprend les notations de Wikipedia :
\begin{align}\dfrac{h_3}{k_3}&=\dfrac{43}{30}\\
\dfrac{h_2}{k_2}&=\dfrac{10}{7}

\end{align} On applique la formule (3):
\begin{align}h_2k_3-h_3k_2&=(-1)^3\\
10\times 30-43\times 7&=-1

\end{align} Si on veut l'inverse modulo $43$ de $30$ on utilise l'égalité suivante qui nous montre que:
\begin{align} 10\times 30 \equiv -1\mod{43}

\end{align} Donc, l'inverse cherché modulo $43$ est $-10$.

PS. Ce sont les deux dernières réduites de la fraction continue d'une fraction de nombres premiers entre eux qui nous intéressent.

Nodgim a écrit:

Alors b(n-1)=+ 1/A si n pair et -1/A si n impair.

Je pense que c'est le contraire.

Je pense que l'algorithme étendu d'Euclide permet de trouver cet inverse modulo un entier (quand c'est possible) sans avoir à manipuler des nombres décimaux avec les problèmes de précision indiqués.
Voir:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_d'Euclide_étendu

Nodgim:

Quel sens donnes-tu à:

A/B = (a1, a2, .... an) ?

\begin{align}\frac{17}{53}&=[a_0,a_1,a_2,a_3]\\
&=[0,3,8,2]
\end{align} Les deux dernières réduites sont dans l'ordre:
\begin{align}
\frac{h_2}{k_2}&=\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{8}}\\
&=\dfrac{8}{25}\\
\dfrac{h_3}{k_3}&=\dfrac{17}{53}.
\end{align} Donc,
\begin{align}h_2k_3-h_3k_2&=(-1)^3\\
8\times 53-17\times 25&=-1
\end{align} Donc:
\begin{align}17\times 25\equiv 1\mod{53}

\end{align} PS. Donc, en effet, la parité du nombre [de] termes dans le développement en fraction continue indique si on va coller, ou pas un moins devant le numérateur de l'avant dernière réduite pour obtenir l'inverse modulaire cherché (si pair, pas de moins).