Entiers deux à deux premiers entre eux

Pablo_de_retour
Pablo_de_retour
dans Arithmétique
Bonjour à tous,

Pouvez vous s'il vous plaît me fournir un exemple de trois entiers positives $ a , b $ et $ c $ qui sont pairewise coprime deux à deux premiers entre eux ?

Merci d'avance

Réponses

  • gai requin
    gai requin
    $2,3,5$.
  • Poirot
    Poirot
    $1,1,1.$
  • Math Coss
    Math Coss
    Moins vide ? Voici trois entiers premiers entre eux dans leur ensemble qui ne sont pas premiers entre eux deux à deux : $6$, $10$, $15$.
  • claude quitté
    claude quitté
    La vache. Et il n'y avait aucune indication ! Gai-Requin, Poirot, Math Coss : comment avec vous procédé ? Vous ne donner aucune indication sur la manière dont vous avez trouvé des solutions/exemples. Sans aucun doute, vous connaissiez le truc ? En tout cas, chapeau. Et encore un joli exercice d'arithmétique résolu sur le forum.
  • marsup
    marsup
    ZUT, ce qui suit est encore faux ! je n'arrive pas à trouver un truc à dire, je ferais peut-être mieux de me taire !

    Si $m,n$ sont premiers entre eux, alors $a = (m-n)^2$, $b = 2 mn$ et $c=(m+n)^2$ sont (parfois) deux-à-deux premiers entre eux.
  • lourrran
    lourrran
    4 , 9 et 25
    6, 35 et 143
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • marsup
    marsup
    La relation $u_{n+1} = (u_n)! - 1$, $u_0\ge 3$ donne une infinité d'entiers deux-à-deux premiers entre eux.
  • Poirot
    Poirot
    @marsup : la suite des nombres de Fermat également une infinité d'entiers premiers entre eux deux à deux :-) Bon et la suite des nombres premiers aussi :-D
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Bonsoir à tous,

    D'abord merci à tous de m'avoir répondu. C'est très gentil.
    Néanmoins, je cherche un exemple d'entiers $ a,b $ et $ c$ qui sont deux à deux premiers entre eux, mais qui ne sont pas premiers. Vous, vous choisissez l'exemple le plus simple où $ a,b $ et $ c $ sont tous premiers, mais ce n'est pas ce que je cherche. et comment faites vous pour les trouver ?

    Merci pour votre compréhension.
  • Dom
    Dom
    $1,1$ et $1$ ne le sont pas (:P)

    $a=2\times 3 \qquad b=5\times 7\qquad$ et $\qquad c=11\times 13\times 13 \times 13 \qquad$ te conviendront-ils ?
  • marsup
    marsup
    Sans blague !! lourrran propose, 3 messages plus haut, le triplet : $4,9,25$. Sont-ce des nombres premiers ?! Ce sont des carrés !

    Franchement, les fils de pablo, ça se range dans ce qu'on appelle l'indignation porn .

    Les gens s'énervent à force de lire des trucs outranciers (ici, par leur inanité et leur prétention) et du coup, ils réagissent et ça crée "de l'engagement", le nouvel or noir du "marketing online".

    -- Pour Dom : lourran propose aussi la construction $p_{2n+1} \cdot p_{2n+2}$, avec $p_k$ le $k$ième nombre premier, donc ton $2\times 3 = 6$ et $5\times 7 = 35$ (avec $11 \times 13 = 143$)
  • Dom
    Dom
    Yep, j'ai proposé les décompositions pour "suggérer l'idée sur l'exemple concret".

    Pablo : premiers entre-eux signifient bien "leur PGCD est 1" donc il suffit de choisir des nombres dont la décomposition en facteurs premiers n'a pas d'intersection. Non ?

    En réponse au mp : le bon vieux temps ;-)(:P)
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Merci Dom
    Merci aussi à lourrran.
    ... et marsup aussi meme s'il n'est pas gentil. 8-)
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