Équations diophantiennes

Lavandes
Lavandes
dans Arithmétique
Bonjour,
Comment monter qu'une équation diophantienne non linéaire n'admet pas de solutions entières ?
Par exemple si j'ai cette équation
x^3 = 9y + 2
Si je raisonne par l’absurde c-à-d qu'elle admet une solution entière, et je prends les deux membres de cette équation modulo 9 j'aurais
x^3 congru à 2 modulo 9.
Puis comment continuer je ne sais pas ??

Réponses

  • noix de totos
    noix de totos
    Que peux-tu dire des cubes modulo $9$ ?
  • Lavandes
    Lavandes
    Vous voulez dire :
    x^3 congru à x modulo 9
  • gerard0
    gerard0
    Dit autrement, quels sont les résultats possibles du reste de la division de $x^3$ par 9 ?

    Cordialement.
  • Lavandes
    Lavandes
    Les restes possibles x^3 modulo 9 sont { 0,1,8}, et l'absurdité vient du fait que 2 n'appartient pas a cette ensemble . Donc x^3 ne congrus pas a 2 modulo 9 donc elle n'admet pas de solutions entiers, c'est ca??
  • Poirot
    Poirot
    Oui :-)
  • Lavandes
    Lavandes
    comment calculer un cube modulo 9 (x^3 modulo 9)
    et les carré modulo 4
  • Lavandes
    Lavandes
    Merci beaucoup
  • marsup
    marsup
    Je crois que modulo $9$, on a $(a+3n)^3 \equiv a^3$.
  • Lavandes
    Lavandes
    Monter que x^2+2*y^2=8*z+5 n'admet pas de solutions entiers??

    [Inutile d'ouvrir trois fils pour poser des questions proches ! Poirot]
  • Poirot
    Poirot
    Ton modulo n'est pas très grand, donc les calculs peuvent se faire à la main !
  • Poirot
    Poirot
    Réduis ton équation modulo $8$.
  • Lavandes
    Lavandes
    ca donne x^2+2*y^2 congrus a 5 modulo 8
    les restes de la division de x^2 mod 8 sont {0,1,4}
    les restes de la division de 2*y^2 mod 8 sont {0,2}
    donc les restes de x^2+2*y^2 mod 8 sont {0,3,4} et comme 5 n'appartient pas a cette ensemble alors l'equation n'admet paa de solutions entiers
  • Poirot
    Poirot
    Exact :-)
  • gerard0
    gerard0
    Heu ... "donc les restes de x^2+2*y^2 mod 8 sont {0,3,4} " ?? Il en manque !! mais effectivement, on n'y trouve pas 5.

    Cordialement.
  • Lavandes
    Lavandes
    Donc pour cette équation : x^2+y^2=4z+3, en prenant les deux membres de l'équation mod 4 je trouve : x^2+y^2 congru à 3 modulo 4.
    Puis les restes de x^2+y^2 sont {0 ,2} et 3 n'appartient pas à cet ensemble donc la congruence est impossible et l'équation n'admet pas de solution entières.
  • gerard0
    gerard0
    " les restes de x^2+y^2 sont {0 ,2} " ???
    Pour x =1 et y =2, x²+y²=2 qui n'est congru ni à 0 ni à 2 modulo 4.

    Un peu de soin dans l'argumentation ne serait pas de trop !!!

    Cordialement.
  • Lavandes
    Lavandes
    Il fallait prendre tous les cas possibles, c'est vrai : donc les restes de x^2+y^2 mod 4 sont {0, 1, 2}

    [Pour une bonne compréhension de tes messages, écris tes mots en entier, merci. AD]
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