Pgcd et suite
dans Arithmétique
Bonsoir
Je suis bloquée à la question 2 de cet exercice, je pensais pouvoir le résoudre avec une analogie de la démonstration de l'égalité des PGCD pour des divisions euclidiennes successives mais je n’aboutis à rien... Pourriez-vous m'aiguiller ?
Merci d'avance.
Cordialement.
Je suis bloquée à la question 2 de cet exercice, je pensais pouvoir le résoudre avec une analogie de la démonstration de l'égalité des PGCD pour des divisions euclidiennes successives mais je n’aboutis à rien... Pourriez-vous m'aiguiller ?
Merci d'avance.
Cordialement.
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Réponses
Rectification : Note que $u_{bq}=(x^b)^q-1$ et que $u_b=x^b-1$. Ne vois-tu pas un lien entre ces deux nombres ?
et je trouve la première égalité mais avec un x à la place du u du membre de droite.
Dans ce cas, il reste à vérifier que :
1) les diviseurs communs à $u_{a}$ et $u_b$ divisent aussi $u_r$
2) les diviseurs communs à $u_{r}$ et $u_b$ divisent aussi $u_a$
Mais je ne vois pas quoi en faire
Tu ne crois pas que la relation entre $u_{bq}$ et $u_{b}$ est un cas particulier de la même relation ?
En utilisant $t=u^c$ pour un certain $c$.
c'est à dire un cas particulier ? si je prends q=1 alors ubq = ub mais ce n'est pas toujours vrai...
\begin{align*}
u_{bq} & =
x^{bq} - 1 \\
& = \sum_{k=0}^{q-1} \big(x^{b(k+1)} - x^{bk}\big) \\
& = \big(x^b-1\big) \cdot \sum_{k=0}^{q-1} x^{bk} \\
& = u_{b} \cdot \sum_{k=0}^{q-1} x^{bk}. \\
\end{align*}
On peut aussi s'y prendre comme Dom ou marsup, bien sûr, mais finalement c'est plus compliqué.
Désolée, je reviens seulement maintenant à mon exercice !
J'ai effectivement démontré la question 2 de la même manière que je l'aurais fait pour les divisions euclidienne successives.
Pourriez-vous me dire si ce que j'ai fait pour la question 3 est correctement justifiée ?
Merci d'avance.
Cordialement.
Mais les pointillés ne sont pas les bienvenus, il me semble.
Aussi, mais ce n'est que de l'ordre de la coquille, tu as écrit : $k-1 > k \qquad$ à la fin.
Les pointillés sont utiles car ils expliquent quelque chose. Mais il manque de la rigueur.
Que veux-tu dire, dans ce passage ?
En fait, tu construis une suite : essaye de la définir sans pointillé, par récurrence par exemple.
J'ai également décalé d'un rang les k en disant qu'il existe un urk = 0 avec rk =0 car la suite est décroissante minorée.
ca me parait compliqué de définir cette suite, puisque les valeurs de cette suite on pour tout lien entre elle a=bq+r, mais ça c'est la notation pour le premier couple de valeur, il faudrait alors que j'introduise d'autres notations...
Je suis peut-être tatillon sur ce coup là.
Je me lance : on note $(r_j)_j$ la suite (finie*) des restes obtenus dans l'algorithme d'Euclide appliqué à $a$ et $b$.
On note $r_k=a\wedge b$ (pour reprendre tes notations, $r_k$ est le dernier terme non nul de la suite)
Est-ce un bon départ ?
Edit : il réside de toute manière le problème des notations, $k-1>k$ puis $k\wedge k-1=k$...
C'est plutôt $r_{k-1}>r_k$ dans la suite des restes.
*je dis finie, mais en fait, on peut très bien arbitrairement choisir tous les termes suivants de cette suite...
[size=x-small]Remarque : c'est amusant d'ailleurs, je pense à un "isomorphisme" (mais de quoi ? juste d'ensembles ?).
En effet, à une notation près, les suites sont "les mêmes". Mais me fais-je bien comprendre ?[/size]