Pgcd et suite

Note que $u_{bq}=(u^b)^q-1$ et que $u_q=u^b-1$. Ne vois-tu pas un lien entre ces deux nombres ?

Rectification : Note que $u_{bq}=(x^b)^q-1$ et que $u_b=x^b-1$. Ne vois-tu pas un lien entre ces deux nombres ?

Tu as remarqué que $u_{bq}$ est un multiple de $u_b$ ?

Dans ce cas, il reste à vérifier que :
1) les diviseurs communs à $u_{a}$ et $u_b$ divisent aussi $u_r$
2) les diviseurs communs à $u_{r}$ et $u_b$ divisent aussi $u_a$

Tu as réussi à faire la question 1 ?

Tu ne crois pas que la relation entre $u_{bq}$ et $u_{b}$ est un cas particulier de la même relation ?

Ah oui, non pardon, ce n'est pas la formule de la question 1. :
\begin{align*}
u_{bq} & =
x^{bq} - 1 \\
& = \sum_{k=0}^{q-1} \big(x^{b(k+1)} - x^{bk}\big) \\
& = \big(x^b-1\big) \cdot \sum_{k=0}^{q-1} x^{bk} \\
& = u_{b} \cdot \sum_{k=0}^{q-1} x^{bk}. \\
\end{align*}

Partons de la relation qu'a remarquée frinoug, à savoir $u_{bq}=(u_b+1)^q-1$, et développons $(u_b+1)^q$ : le seul terme qui n'est pas divisible par $u_b$ est $1$, qui est éliminé par le $-1$. Cela suffit à montrer que $u_b$ divise $u_{bq}$.

On peut aussi s'y prendre comme Dom ou marsup, bien sûr, mais finalement c'est plus compliqué.

Comment ça ? On peut écrire $(u_b+1)^q=Nu_b+1$, où \[N=\sum_{k=1}^q\binom{q}{n}u_b^{k-1},\] non ?

Eh bien, avec la relation de la première question, cela donne : \[u_a=Nx^r\cdot u_{b}+u_r,\] ce qui ressemble furieusement à une division euclidienne de $u_a$ par $u_b$.

L'idée est la bonne.

Mais les pointillés ne sont pas les bienvenus, il me semble.

Aussi, mais ce n'est que de l'ordre de la coquille, tu as écrit : $k-1 > k \qquad$ à la fin.

Par exemple, quant tu dis "d'après la question 2." et que tu écris la ligne suivante (avec des inégalités), le correcteur rigoureux va te demander "Comment ça ?", qu'est-ce que ce $k$ d'ailleurs ?

Les pointillés sont utiles car ils expliquent quelque chose. Mais il manque de la rigueur.

Que veux-tu dire, dans ce passage ?
En fait, tu construis une suite : essaye de la définir sans pointillé, par récurrence par exemple.

Je ne sais pas ce qu'en penseront d'autres intervenants.
Je suis peut-être tatillon sur ce coup là.

Je me lance : on note $(r_j)_j$ la suite (finie*) des restes obtenus dans l'algorithme d'Euclide appliqué à $a$ et $b$.
On note $r_k=a\wedge b$ (pour reprendre tes notations, $r_k$ est le dernier terme non nul de la suite)

Est-ce un bon départ ?

Edit : il réside de toute manière le problème des notations, $k-1>k$ puis $k\wedge k-1=k$...
C'est plutôt $r_{k-1}>r_k$ dans la suite des restes.

*je dis finie, mais en fait, on peut très bien arbitrairement choisir tous les termes suivants de cette suite...

[size=x-small]Remarque : c'est amusant d'ailleurs, je pense à un "isomorphisme" (mais de quoi ? juste d'ensembles ?).
En effet, à une notation près, les suites sont "les mêmes". Mais me fais-je bien comprendre ?[/size]