Équation de Chao Ko : solutions décimales

uvdose · May 2019

Bonjour à tous,

L'équation diophantienne de Chao Ko (déjà évoquée sur ce forum ici et là) est la suivante :

$x^xy^y=z^z \;\;\; (\mathcal{E})$

où $x$, $y$ et $z$ sont des nombres entiers strictement supérieurs à $1$.

À ma connaissance celle-ci n'a toujours pas été résolue. Le dernier article que j'ai trouvé à ce sujet est celui-ci : [Math.Net.Ru]. Un état de l'art y est dressé en préambule.

Je vous propose une petite énigme, pas trop difficile à résoudre : montrer qu'il existe une infinité de triplets $(x;y;z)$ solutions de $(\mathcal{E})$ avec $x$, $y$ et $z$ décimaux et non entiers.

Exemple : $7,46496^{7,46496}18,6624^{18,6624}=22,39488^{22,39488}$.

Robusta · May 2019

Bonjour, juste une illustration, pas une démonstration : on choisit "a"
$X = 2^{2a} ; Y = (2^a - 1)^2 ; Z = 2^{a+1}(2^a - 1), d=Z^Z/(X^XY^Y)$, for a=1.247891 http://tinyurl.com/y5u8zo3p

d'où $d\approx3.64691$ et $x=dX, y=dY, z=dZ$, soit
$x=3.64691*2^{2a} ; y=3.64691(2^a - 1)^2 ; z=3.64691*2^{a+1}(2^a - 1)$, for a=1.247891 http://tinyurl.com/yycb8o8h

d'où
$x^xy^y = 20.5698^{20.5698}*6.89434^{6.89434} \approx z^z=23.817229^{23.817229}$ http://tinyurl.com/y2mjpthv

Solution by James Ward, of UCG, page 6

uvdose · May 2019

Robusta a écrit:

$20.5698^{20.5698}\times6.89434^{6.89434}\approx 23.817229^{23.817229}$

Comme tu l'écris, il s'agit seulement d'une égalité approchée. En un sens qu'il faudrait d'ailleurs que tu précises, car on a certes $\dfrac{z^z}{x^xy^y}\approx1,000000398$ mais on a tout de même $z^z-x^xy^y\approx2,47551\times10^{26}$.

Si $x$ et $y$ sont des décimaux strictement positifs fixés, la continuité de $z\mapsto z^z$ sur $]0;+\infty[$, associée à la densité de $\mathbb{D}$ dans $\mathbb{R}$ assure clairement l'existence d'un $z$ dans $\mathbb{D}$ tel que $|z^z-x^xy^y|$ soit aussi petit qu'on le souhaite.
Par exemple $1,5^{1,5}\times2,5^{2,5}\approx2,80787293694^{2,80787293694}$ (à $10^{-10}$ près).

Robusta · May 2019

A moins de remettre en question la solution de James Ward, l'imprécision sur d ($\approx 3.64691$ et non $= 3.64691$rectifié plus haut) ne peut venir que des limites de calcul de Wolfram dont on voit la torture avec a = 1.247891 ici ; l'ensemble des résultats est donc affecté.

uvdose · May 2019

Désolé mais je ne te suis pas du tout. Lorsque $a$ est décimal, le $x$ de James Ward ne l'est pas forcément...

marco · May 2019

Bonjour Uvdose,

Est-ce que tu pourrais donner la solution de l'énigme ? En effet, j'ai cherché à montrer qu'il y avait une infinité de triplets solutions $(x,y,z)$ constitués de nombres de la forme $2^a 5^b$ avec $a,b \in \Z$, mais sans réussir. Avec des nombres décimaux (de la forme $2^a5^bc$ avec $a,b \in \Z$ et $c \in \N$), je ne vois pas non plus.

Merci d'avance.

Remarque: il y a au moins quatre triplets solutions avec $x=y$: $(2^{5}5^{-5},2^{5}5^{-5},2^{4}5^{-4})$, $(2^{-4},2^{-4},2^{-2})$, $(2^{-4},2^{-4},2^{-1})$, $(2^{12}5^{-4},2^{12}5^{-4},2^{15}5^{-5})$.

uvdose · May 2019

Bonjour,

Merci marco de t'intéresser à la question.

En fait, en m'inspirant de ce fil, j'ai réussi à paramétrer les solutions réelles de l'équation $x^xy^y=z^z\;(\mathcal{E})$ sous la forme :

$\left\{\begin{array}{lcl}x&=&\dfrac{(u+v-1)^{u+v-1}}{u^{u-1}v^v}\\y&=&\dfrac{(u+v-1)^{u+v-1}}{u^{u}v^{v-1}}\\z&=&\dfrac{(u+v-1)^{u+v}}{u^{u}v^v}\\\end{array}\right.$

Je n'ai jamais trouvé cette paramétrisation dans les quelques articles qui traitent de l'équation $(\mathcal{E})$.

Pour produire des solutions rationnelles (resp. décimales), il suffit de prendre des entiers (resp. des entiers ne possédant que $2$ ou $5$ comme facteurs premiers) pour $u$ et $v$. On obtient l'exemple du message initial en prenant $u=2$ et $v=5$.

Une question (parmi d'autres) que je me pose (et qui me semble difficile) est la suivante : si $(x,y,z)$ est une solution entière de $(\mathcal{E})$, peut-on la paramétrer par un couple $(u,v)$ d'entiers ?

marco · May 2019

Merci !

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