Démontrer que $78^p - 71$ est divisible par 7
dans Arithmétique
Pas par récurrence.
Réponses
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Bonjour,
Raisonner modulo 7 pour commencer...? -
Donc vous ne disposez que de la récurrence pour résoudre ce problème, une méthode qui repose essentiellement sur une hypothèse
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Hello
Bon on écrit : $78 = 71+7$. Puis : $$
(71+7)^p = \sum_{k=0}^p C_p^k 7^k 71^{p-k} = 71^p \pmod{7}
$$ Puis : $$
71^p-71 = 71 \times (71^{p-1}-1) = 71 \times 70 \times \sum_{k=0}^{p-2} 71^k = 0 \pmod{7}
$$ -
Comme le dit Dom, $78 \equiv 71 \equiv 1 \pmod 7 \dotsc$ C'est bien suffisant !
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71 n'est pas divisible par 7 par conséquent 71^p ne l'est pas aussi et avec l'utilisation du binôme de [large]N[/large]ewton c'est ce qu'on obtient pour k=0.
[Isaac Newton (1642-1727) prend toujours une majuscule. AD] -
$\sum\limits_{k=0}^{p-1} (78)^{k} =
\frac{(78)^p - 1}{77}
$ est un entier, $N_p$.
Ainsi : $(78)^p - 71 = 77 N_p - 70$ est un multiple de $7$. -
juste mr marsup. bien vu
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Bonjour!
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