Démontrer que $78^p - 71$ est divisible par 7 — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Démontrer que $78^p - 71$ est divisible par 7

barou thiambarou thiam
dans Arithmétique
Pas par récurrence.

Réponses

  • DomDom
    Bonjour,

    Raisonner modulo 7 pour commencer...?
  • GuegoGuego
    @barou thiam : la récurrence marche très bien. $78^{p+1} - 71 = 78^p - 71 + 77\cdot 78^p$.
  • barou thiambarou thiam
    Donc vous ne disposez que de la récurrence pour résoudre ce problème, une méthode qui repose essentiellement sur une hypothèse
  • moduloPmoduloP
    Hello
    Bon on écrit : $78 = 71+7$. Puis : $$

    (71+7)^p = \sum_{k=0}^p C_p^k 7^k 71^{p-k} = 71^p \pmod{7}

    $$ Puis : $$

    71^p-71 = 71 \times (71^{p-1}-1) = 71 \times 70 \times \sum_{k=0}^{p-2} 71^k = 0 \pmod{7}
    $$
  • noix de totosnoix de totos
    Comme le dit Dom, $78 \equiv 71 \equiv 1 \pmod 7 \dotsc$ C'est bien suffisant !
  • barou thiambarou thiam
    71 n'est pas divisible par 7 par conséquent 71^p ne l'est pas aussi et avec l'utilisation du binôme de [large]N[/large]ewton c'est ce qu'on obtient pour k=0.

    [Isaac Newton (1642-1727) prend toujours une majuscule. AD]
  • marsupmarsup
    $\sum\limits_{k=0}^{p-1} (78)^{k} =
    \frac{(78)^p - 1}{77}
    $ est un entier, $N_p$.

    Ainsi : $(78)^p - 71 = 77 N_p - 70$ est un multiple de $7$.
  • barou thiambarou thiam
    juste mr marsup. bien vu
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