Démontrer que $78^p - 71$ est divisible par 7
dans Arithmétique
Pas par récurrence.
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Réponses
Raisonner modulo 7 pour commencer...?
Bon on écrit : $78 = 71+7$. Puis : $$
(71+7)^p = \sum_{k=0}^p C_p^k 7^k 71^{p-k} = 71^p \pmod{7}
$$ Puis : $$
71^p-71 = 71 \times (71^{p-1}-1) = 71 \times 70 \times \sum_{k=0}^{p-2} 71^k = 0 \pmod{7}
$$
[Isaac Newton (1642-1727) prend toujours une majuscule. AD]
\frac{(78)^p - 1}{77}
$ est un entier, $N_p$.
Ainsi : $(78)^p - 71 = 77 N_p - 70$ est un multiple de $7$.