Équation diophantienne

On peut généraliser et chercher les solutions des équations $E_n$ de la forme $x^2+y^2+z^2=2^n xyz$, avec $n\geq 1$ entier.
Si $(x,y,z)$ est solution d'une telle équation $E_n$, on raisonne modulo $4$, et on voit que nécessairement $x,y,z=0$ ou $2 \pmod 4$, donc $x,y,z$ sont divisibles par $2$.
Donc $(x/2,y/2,z/2)$ est solution de $E_{n+1}$.

Si $x,y,z$ est solution de $x^2+y^2+z^2=2xyz$, alors:
1) si $x,y,z$ sont impairs, alors $x^2=y^2=z^2=1 \pmod 4$, donc, en reportant dans l'équation, on obtient $3=x^2+y^2+z^2=2xyz \pmod 4$ ce qui est impossible, car $3$ est impair.
2) si $x$ est pair, et $y$ et $z$ impairs, on obtient $x^2=0 \pmod 4$, et $y^2=z^2=1 \pmod 4$. Donc, dans l'équation, cela donne: $2=x^2+y^2+z^2=2xyz=0 \pmod 4$, donc contradicton.
3) si $x$ et $y$ pairs, et $z$ impair, de même.
4) si $x,y,z$ sont pairs, alors soit $a=x/2$, $b=y/2$, $c=z/2$. Alors $a,b,c$ vérifient $a^2+ b^2+ c^2=4abc$.