Faire de $O_K$ un PID non-ramifié
dans Arithmétique
Bonjour,
Il me semble que $\Bbb{Z}[\sqrt{-5},1/2,1/5]$ est un PID et est non-ramifié comme extension de $\Bbb{Z}[1/2,1/5]$ [small](car le discriminant de $x^2+5$ est $-20$ et le groupe de classes d'idéaux de $\Bbb{Z}[\sqrt{-5}]$ est $ \{(1),(2,1+\sqrt{-5})\}$).[/small]
Pour chaque corps de nombre $K$ il existe un tel anneau de pseudo-entiers $R_K$ qui est un PID et un module libre et une extension non-ramifiée sur $\Bbb{Z}[1/q]$.
Question : Quelles sont les raisons de travailler dans $O_K$ plutôt que $R_K$ ? Que donnent la norme, les unités, le discriminant et autre Artin map dans les $R_K$ ?
[small]Dans $O_K = \Bbb{Z}[\sqrt{-5}]$ on a $(2,1+\sqrt{-5})(3,1+\sqrt{-5})=(1+\sqrt{-5})$ et $(2,1+\sqrt{-5})(7,1+2\sqrt{-5})= (3-\sqrt{-5})$ donc dans $R_K = \Bbb{Z}[\sqrt{-5},1/2,1/5]$ on obtient $(2,1+\sqrt{-5})=(1)$, $(3,1+\sqrt{-5})=(1+\sqrt{-5})$ et $(7,1+2\sqrt{-5})=(3-\sqrt{-5})$.[/small]
Il me semble que $\Bbb{Z}[\sqrt{-5},1/2,1/5]$ est un PID et est non-ramifié comme extension de $\Bbb{Z}[1/2,1/5]$ [small](car le discriminant de $x^2+5$ est $-20$ et le groupe de classes d'idéaux de $\Bbb{Z}[\sqrt{-5}]$ est $ \{(1),(2,1+\sqrt{-5})\}$).[/small]
Pour chaque corps de nombre $K$ il existe un tel anneau de pseudo-entiers $R_K$ qui est un PID et un module libre et une extension non-ramifiée sur $\Bbb{Z}[1/q]$.
Question : Quelles sont les raisons de travailler dans $O_K$ plutôt que $R_K$ ? Que donnent la norme, les unités, le discriminant et autre Artin map dans les $R_K$ ?
[small]Dans $O_K = \Bbb{Z}[\sqrt{-5}]$ on a $(2,1+\sqrt{-5})(3,1+\sqrt{-5})=(1+\sqrt{-5})$ et $(2,1+\sqrt{-5})(7,1+2\sqrt{-5})= (3-\sqrt{-5})$ donc dans $R_K = \Bbb{Z}[\sqrt{-5},1/2,1/5]$ on obtient $(2,1+\sqrt{-5})=(1)$, $(3,1+\sqrt{-5})=(1+\sqrt{-5})$ et $(7,1+2\sqrt{-5})=(3-\sqrt{-5})$.[/small]
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Réponses
- Les idéaux sont principaux mais trouver les générateurs des idéaux au dessus de $p$ n'est pas facile, on sera peut-être amené à continuer de représenter $(7,1+2\sqrt{-5})$ tel quel plutôt que par $(3-\sqrt{-5})$.
- La norme d'idéal $\# R_K/(\alpha)$ n'est plus $|N_{K/\Bbb{Q}}(\alpha)| \in \Bbb{Z}_{\ge 1}$ mais $N_{K/\Bbb{Q}}(\alpha)\in \Bbb{Z}[1/2,1/5]^* / \langle 2,5,-1\rangle \cong \{ n \in \Bbb{Z}_{\ge 1}, \gcd(n,10)=1\}$.
- Pour prouver que $R_K$ est un PID il faut d'abord montrer que $O_K$ est un anneau de Dedekind et que son groupe de classes d'idéaux est fini et généré par tels idéaux.
il faut réfléchir un peu pour définir $\# R_K/(a)$ et si on veut écrire $\zeta_{R_K}(s)$ comme la transformée de Mellin d'une sorte de fonction $\Theta$ on se ramènera probablement à $\Bbb{Z}[\alpha]$ ou $O_K$,
Mais le fait que $R_K$ soit un PID doit aussi permettre de voir plus facilement les caractères de Hecke, et il amène aussi à réfléchir à ce que veut vraiment dire que $\zeta_{O_K}(s)$ ait une équation fonctionnelle et sans termes $\frac{1-N(P)^{-s}}{1-N(P)^{s-1}}$ supplémentaires, ou qu'une extension abélienne soit non-ramifiée, ou...
Surtout qu'une fois que tu auras (ou "aurait", plutôt) réussi à définir correctement la "norme" $\left| R_k / (\mathfrak{a}) \right|$ (au fait : est-elle complètement multiplicative ? Sinon, le produit eulérien risque d'être plus compliqué que prévu), il faudra tout refaire pour la fonction zêta correspondante : équation fonctionnelle, prolongement analytique, résidu en $1$, région sans zéro, etc.
Tout ça pour un gain assez relatif, finalement.
Vaut mieux rester avec $\mathcal{O}_K$ et ses éventuels défauts de principalité.
que les idéaux premiers soient inversibles donne que tout idéal est produit d'idéaux premiers,
pour $I,J$ comaximaux on a toujours $R/IJ \cong R/I \times R/J$ donc $N(IJ) = N(I)N(J)$
quand $I=(a)$ est principal l'union disjointe $R = \bigcup_{c \in R/J} c+J$ donne $a R = \bigcup_{c \in R/J} a c+a J$ et $R = \bigcup_{b \in R/(a)} b+aR = \bigcup_{b \in R/(a)} \bigcup_{c \in R/J}b+ a c+a J$ donc $N(aJ) = N((a))N(J)$.
reste le cas $I = P^n,J = P^m$, que $P$ soit inversible donne une valuation discrète $v_P(a) = l$ si $a \in P^l, a \not \in P^{l+1}$ et dans la localisation $R_P = \{ a/b, a,b \in R,v_P(b)= 0\}$ en prenant $v_P(\pi_P) = 1$ on a $P^n = (\pi_P^n)$ d'où $\# R/P^{n+m} =\# R_P/P^{n+m}= \# R_P/(\pi_P^{n+m}) = (R_P/(\pi_P))^{n+m}=N(P)^{n+m}$.
Je ne pense pas qu'il y ait des preuves plus faciles dans $O_K$.
Pour le lien avec $N_{K/\Bbb{Q}}$ le fait qu'on soit dans des $\Bbb{Z}[1/d]$-modules libres permet de dire que $\# R/I$ c'est le déterminant de la matrice du $\Bbb{Z}[1/d]$-module libre $I$. On peut aussi faire passer l'idéal d'un anneau à l'autre pour se placer dans un $\Bbb{Z}$-module libre.
Enfin le théorème à connaître c'est que pour un anneau de Dedekind $D$ alors $D[a^{-1}]$ est un anneau de Dedekind. Ici $D = O_K$ ou $D = \Bbb{Z}[\alpha^{-1},1/d]$.