Addition de fractions irréductibles

Soit $a$ et $b$ deux éléments de $\N^*$. Disons $a=p_1^{\alpha_1}\dots p_n^{\alpha_n}$ et $b=p_1^{\beta_1}\dots p_n^{\beta_n}$ où les $p_i$ sont premiers.
On sait que le pgcd de $a$ et $b$ est le produit des $p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$ et que le ppcm de $a$ et $b$ est le produit des $p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}$.

Considérons une nouvelle fonction en posant : $f(a,b)=p_1^{\alpha_1\times \delta_{\alpha_1,\beta_1}}\dots p_n^{\alpha_n\times \delta_{\alpha_n,\beta_n}}$ où $\delta _{i,j}$ est le symbole de Kronecker.
Par exemple : $f(10,20)=5$;$\quad f(14,10)=2$ ; $\quad f(24,36)=1$

Je ne sais pas si cette fonction porte un nom, mais elle est utile pour savoir si l'addition de deux fractions irréductibles $\dfrac xa$ et $\dfrac yb$, une fois mise au dénominateur commun : ppcm$(a,b)$ va se simpilfier.

Théorèmes :
a) Si $f(a,b)=1$ alors $\dfrac xa+\dfrac yb$ ne peut pas se simplifier. b) Si $\dfrac xa+\dfrac yb$ peut se simplifier, alors c'est par un diviseur de $f(a,b)$.


Exemples:
1) $\dfrac x{24}+\dfrac y{36}$ ne peut jamais se simplifier. Rappel : les 2 fractions sont irréductibles.

2) $\dfrac {3}{14}+\dfrac {1}{10}=\dfrac{22}{70}$ est simplifiable ($f=2$)

3) $\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{6}$ est simplifiable.