Divertissement (4)

2x3=6 ?

Avec le théorème de Fermat on voit sans calculs que l'ordre de $7$ modulo $499\times 997$ est un diviseur de $996=2\times 498$.

On peut aussi dire que $m$ est un multiple de $4$. En effet, s'il ne l'était pas alors pour $q=997$ on aurait $7^{(q-1)/2}\equiv 1\pmod{q}$, donc d'après la loi de réciprocité quadratique, $1=(\frac{7}{997})=(\frac{997}{7})=(\frac{3}{7})=-(\frac{7}{3})=-1$.

Bonjour à tous,

la réponse de Sneg ne me plaît pas du tout.
C'est un peu comme s'il avait proposé une grille de mots croisés pas facile en assurant l'avoir résolue en quelques minutes. Ben oui, nous dit-il : il suffit de recopier la solution qui est donnée à la dernière page du journal!

Notons qu'il suffit de savoir que $7$ est racine primitive modulo $997$ pour conclure que l'ordre de $7$ modulo $499 \times 997$ est $996$: ça ne sert à rien de savoir que, de plus, $7$ est racine primitive modulo $499$: en effet, l'ordre de $7$ modulo $499 \times 997$ est le ppcm des ordres de $7$ modulo $499$ et modulo $997$; l'ordre de $7$ modulo $499$ divise $498$ et donc $996$ et donc,quel qu'il soit (i.e. $498$ ou un de ses diviseurs stricts), son ppcm avec $996$ sera $996$.



l'ordre $m$ de $7$ modulo $499 \times 997$ est, comme il a été déjà expliqué, un multiple de $4$ et un diviseur de $4 \times 3 \times 83$.

$83$ est premier.

Donc $m \in \{4, 4 \times 3, 4 \times 83, 4 \times 3 \times 83\}$.

$4$ et $12$ sont éliminés "de tête".

$m=4 \times 3 \times 83$ SSI $7$ n'est pas un cube modulo $499$ ou modulo $997$.

Je sais qu'il existe une loi de réciprocité cubique mais je ne la connais pas.

Je tente de m'en sortir "de tête" en visant le $1000$ ou ses petits multiples ( en vérité le $997$) et en le ratant de "peu" à plusieurs reprises. J'utilise ces ratages de "peu" pour montrer que $7$ n'est pas un cube modulo $997$ et que donc $m=4 \times 3 \times 83$.

Ma méthode n'est sûrement pas celle de Sneg vu qu'il précise qu'il est une quiche en calcul mental, alors que j'utilise des compétences telles que $2^{10}=1024, 7^3=343, 7 \times 11\times 13=1001$...

Je montre que $2, 3, 5$ sont des cubes modulo $997$, puis que si $7$ était aussi un cube modulo $997$, ça ferait trop de cubes modulo $997$.

Bien entendu, je m'autorise l'usage du stylo ;-)

Paul

Etre une racine primitive modulo $p$ est équivalent à être d'ordre $p-1$. On avait bien remarqué que c'était ça qu'il fallait démontrer, mais on ne savait pas que la solution était sur un tableau de Wikipedia.

Si je raisonne comme toi, je pourrais donner comme énigme : "déterminer la 1000e décimale de $\pi$ sans la moindre difficulté, mentalement même ? (Et je n'ai pas d'aptitude particulière pour le calcul mental.)"