Ulm/Lyon 1993

Réponses

• LP

  May 2019

  Bonjour,
  il y a le corrigé du site de l'UPS.
  LP
• noix de totos

  May 2019

  Ce corrigé est plutôt mal fait.
  
  La question III.3 dont on parle ci, ce n'est rien d'autre qu'une application du principe de l'hyperbole de Dirichlet, utilisé dans de nombreuses applications arithmétiques, dont le problème des diviseurs de Dirichlet.
  
  Il se trouve dans n'importe quel livre de théorie multiplicative des nombres. Parmi beaucoup d'autres, voilà deux ouvrages possibles : https://www.amazon.fr/Introduction-Numbers-Mathematics-Shapiro-2008-08-08/dp/B01K3L8HX2/ref=sr_1_1?__mk_fr_FR=ÅMÅŽÕÑ&keywords=harold+shapiro&qid=1558272844&s=gateway&sr=8-1 et https://www.amazon.fr/Arithmetic-Tales-Olivier-Bordellès-ebook/dp/B00A27DJD6/ref=sr_1_fkmrnull_2?__mk_fr_FR=ÅMÅŽÕÑ&keywords=olivier+bordellès&qid=1558272881&s=gateway&sr=8-2-fkmrnull
• Audeo

  May 2019

  @LP : Il y a effectivement un autre corrigé sur le site de l'UPS, merci !
  
  C'était surtout la correction proposée pour la deuxième partie de la question V.2 qui me chagrinait. Il me semblait bien que l'estimation : $$\sum_{k\leq x}\ln\Bigl(\frac xk\Bigr)=O(x)$$ (qui si l'on veut découle de la formule rappelée dans l'introduction de la partie II) avait son importance.
• Audeo

  May 2019

  @Noix de toto : Merci. J'étais tombé sur cette page. Dans la foulée je suis allé emprunter le Quadrature n°71 au CDI.
• Audeo

  May 2019

  Sinon il y a aussi la façon dont est traitée la question V.3 : j'ai du mal à voir comment l'auteur obtient son $O\Bigl(\frac{\ln x}{x}\Bigr)$.
  Ce qui joue un rôle important est la majoration $$\left\lvert\sum_{k>\frac xd}\chi(k)\frac{\ln(k)}{k}\right\rvert\leqslant N\frac{\ln x/d}{x/d}$$
  et ce qui m'embête, c'est le sens de variation de la fonction $[1,+\infty\mathclose[\ni x\mapsto \ln(x)/x$ qui "n'est pas parfait". Ne faut-il pas par exemple distinguer les cas $x/d<3$ et $x/d\geqslant 3$ puis utiliser l'estimation $\sum_{x/3<d\leqslant x}1/d=O(1)$ ? Il faut que je regarde mieux mais je crois que cela n'apparaît pas non plus dans la solution proposée sur le site de l'UPS.
• noix de totos

  May 2019

  Si, en toute rigueur, la séparation des cas est préférable, même si la contribution des entiers dans $\left] \frac{1}{3} x, x \right]$ est peu importante.
  
  Quant à la référence du Quadrature, c'est une bonne idée.
• Audeo

  May 2019

  Merci !
  
  Oui, l'article "Le problème des diviseurs de Dirichlet" est très intéressant et vraiment bien écrit.
• noix de totos

  May 2019

  Pour les sommes (twistées) des caractères de Dirichlet, une astuce à connaître est la combinaison d'une sommation d'Abel avec l'inégalité de Pólya-Vinogradov, ce qui donne l'inégalité suivante : Si $F$ est une fonction définie sur $\left[1,+\infty\right[$, à valeurs positives, décroissante et tendant vers $0$, et si $\chi \neq \chi_0$ est un caractère de Dirichlet non principal de module $q > 1$, alors
  $$\left| \sum_{n > x} \chi(n) F(n) \right| \leqslant 4 F(x) \sqrt q \log q.$$
• Audeo

  May 2019

  Il y a un autre bug dans la solution de l'UPS, en III.3, la formule : $$\sum_{k\leqslant x}\frac 1{\sqrt k}=2\sqrt{x}-1+O\left(\frac1{\sqrt x}\right).$$ À première vue un " $-2$ " se transforme en " $-1$ " et peut-être encore autre chose. En tout cas, $\sum_{k\leqslant x}1/\sqrt k-2\sqrt x$ ne tend pas vers $-1$. Et la démarche proposée dans le corrigé de mon premier message est à mon sens plutôt maladroite. Posons, pour tout entier $n\geqslant 1$, $$u_n=\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}-\int_1^n\frac1{\sqrt t}\mathrm dt.$$ Pour tous entiers $n,p\geqslant 1$, $$u_{n+p}-u_n=\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac1{\sqrt k}-\int_n^{n+p}\frac1{\sqrt t}\mathrm dt=\sum_{k=n+1}^{n+p}\int_{k-1}^k\left(\frac1{\sqrt k}-\frac1{\sqrt t}\right)\mathrm dt.$$ Or, si $k\geqslant 2$, $$\forall t\in[k-1,k], \hskip0.5em \frac1{\sqrt{k}}\leqslant \frac1{\sqrt{t}}\leqslant \frac1{\sqrt{k-1}} \quad \text{donc} \quad \frac1{\sqrt{k}}-\frac1{\sqrt{k-1}}\leqslant \int_{k-1}^k\left(\frac1{\sqrt k}-\frac1{\sqrt t}\right)\mathrm dt\leqslant 0.$$ Donc, pour tous $n,p\geqslant 1$, $$\frac1{\sqrt{n+p}}-\frac1{\sqrt{n}}\leqslant u_{n+p}-u_n\leqslant 0.$$ Ainsi, la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée donc converge vers un réel $\ell$, et en faisant tendre $p$ vers $+\infty$, $$\forall n\in\mathbb{N}^*, \hskip0.5em \lvert u_n-\ell\rvert\leqslant\frac1{\sqrt n}.$$
  D'où, comme l'on a $1/\sqrt{\lfloor x\rfloor}\leqslant 2/\sqrt x$ et $0\leqslant \sqrt x-\sqrt{\lfloor x\rfloor}\leqslant 1/\sqrt x$ pour tout réel $x\geqslant 1$, $$\sum_{k\leqslant x}\frac 1{\sqrt k}=2\sqrt{x}+\ell-2+O\left(\frac1{\sqrt x}\right).$$
  Je sais qu'il existe des outils comme la formule d'Euler-Maclaurin, mais j'aime bien cette façon de procéder !
  
  Remarque : Avec $[1,+\infty\mathclose[\ni t\mapsto \ln t$ croissante à la place de $[1,+\infty\mathclose[\ni t\mapsto 1/\sqrt t$ décroissante, on obtient, pour tout $n\geqslant 2$, $$u_n=\sum_{k=1}^n\ln k-\int_1^n \ln t\:\mathrm dt=\sum_{k=2}^n\int_{k-1}^k(\ln k-\ln t)\mathrm dt, \quad 0\leqslant u_n\leqslant \sum_{k=2}^n(\ln k-\ln(k-1))=\ln n,$$ d'où l'estimation rappelée dans la partie II : $$\ln n!=n\ln n-n+O(\ln n).$$