Ulm/Lyon 1993
dans Arithmétique
Bonjour,
Quelqu'un disposerait-il d'un corrigé de cette épreuve* autre que celui-ci ?
* Version du sujet où il faut remplacer " $d'\leqslant x$ " par " $d'\leqslant\sqrt x$ " sous le premier $\sum$ dans la question III.3.
Quelqu'un disposerait-il d'un corrigé de cette épreuve* autre que celui-ci ?
* Version du sujet où il faut remplacer " $d'\leqslant x$ " par " $d'\leqslant\sqrt x$ " sous le premier $\sum$ dans la question III.3.
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Réponses
il y a le corrigé du site de l'UPS.
LP
La question III.3 dont on parle ci, ce n'est rien d'autre qu'une application du principe de l'hyperbole de Dirichlet, utilisé dans de nombreuses applications arithmétiques, dont le problème des diviseurs de Dirichlet.
Il se trouve dans n'importe quel livre de théorie multiplicative des nombres. Parmi beaucoup d'autres, voilà deux ouvrages possibles : https://www.amazon.fr/Introduction-Numbers-Mathematics-Shapiro-2008-08-08/dp/B01K3L8HX2/ref=sr_1_1?__mk_fr_FR=ÅMÅŽÕÑ&keywords=harold+shapiro&qid=1558272844&s=gateway&sr=8-1 et https://www.amazon.fr/Arithmetic-Tales-Olivier-Bordellès-ebook/dp/B00A27DJD6/ref=sr_1_fkmrnull_2?__mk_fr_FR=ÅMÅŽÕÑ&keywords=olivier+bordellès&qid=1558272881&s=gateway&sr=8-2-fkmrnull
C'était surtout la correction proposée pour la deuxième partie de la question V.2 qui me chagrinait. Il me semblait bien que l'estimation : $$\sum_{k\leq x}\ln\Bigl(\frac xk\Bigr)=O(x)$$ (qui si l'on veut découle de la formule rappelée dans l'introduction de la partie II) avait son importance.
Ce qui joue un rôle important est la majoration $$\left\lvert\sum_{k>\frac xd}\chi(k)\frac{\ln(k)}{k}\right\rvert\leqslant N\frac{\ln x/d}{x/d}$$
et ce qui m'embête, c'est le sens de variation de la fonction $[1,+\infty\mathclose[\ni x\mapsto \ln(x)/x$ qui "n'est pas parfait". Ne faut-il pas par exemple distinguer les cas $x/d<3$ et $x/d\geqslant 3$ puis utiliser l'estimation $\sum_{x/3<d\leqslant x}1/d=O(1)$ ? Il faut que je regarde mieux mais je crois que cela n'apparaît pas non plus dans la solution proposée sur le site de l'UPS.
Quant à la référence du Quadrature, c'est une bonne idée.
Oui, l'article "Le problème des diviseurs de Dirichlet" est très intéressant et vraiment bien écrit.
$$\left| \sum_{n > x} \chi(n) F(n) \right| \leqslant 4 F(x) \sqrt q \log q.$$
D'où, comme l'on a $1/\sqrt{\lfloor x\rfloor}\leqslant 2/\sqrt x$ et $0\leqslant \sqrt x-\sqrt{\lfloor x\rfloor}\leqslant 1/\sqrt x$ pour tout réel $x\geqslant 1$, $$\sum_{k\leqslant x}\frac 1{\sqrt k}=2\sqrt{x}+\ell-2+O\left(\frac1{\sqrt x}\right).$$
Je sais qu'il existe des outils comme la formule d'Euler-Maclaurin, mais j'aime bien cette façon de procéder !
Remarque : Avec $[1,+\infty\mathclose[\ni t\mapsto \ln t$ croissante à la place de $[1,+\infty\mathclose[\ni t\mapsto 1/\sqrt t$ décroissante, on obtient, pour tout $n\geqslant 2$, $$u_n=\sum_{k=1}^n\ln k-\int_1^n \ln t\:\mathrm dt=\sum_{k=2}^n\int_{k-1}^k(\ln k-\ln t)\mathrm dt, \quad 0\leqslant u_n\leqslant \sum_{k=2}^n(\ln k-\ln(k-1))=\ln n,$$ d'où l'estimation rappelée dans la partie II : $$\ln n!=n\ln n-n+O(\ln n).$$