Existence du ppcm, sans idéaux

Homo Topi
Homo Topi
dans Arithmétique
J'avais récemment posé une question similaire avec le PGCD.

Mon objectif est de définir le PPCM de deux entiers naturels et de montrer qu'il existe, le tout sans parler de sous-groupes, d'idéaux etc.

Comme définition du PPCM de $a$ et $b$, je prends la définition naïve : un multiple commun de $a$ et $b$ qui divise tous les autres. On peut montrer que $m$ est un PPCM de $a$ et $b$ si, et seulement si, $a \mathbb{Z} \cap b \mathbb{Z} = m \mathbb{Z}$. On peut aussi montrer facilement que s'il existe, il est unique.

Par contre, comment démontre-t-on "naïvement" que pour tout couple d'entiers $(a,b)$, il existe un entier $m$ tel que $a \mathbb{Z} \cap b \mathbb{Z} = m \mathbb{Z}$ ?

EDIT : Je sais que si $m$ est un multiple commun de $a$ et $b$, alors $m \mathbb{Z} \subset (a \mathbb{Z} \cap b \mathbb{Z})$. Il faudrait réussir à montrer qu'il existe un multiple commun pour lequel on a l'inclusion réciproque, mais je ne vois pas comment justifier ça.

Réponses

  • Audeo
    Audeo
    Le multiple commun $ab/d$, où $d$ est le PGCD de $a$ et $b$ ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La décomposition en produit de facteurs premiers fait-elle partie des méthodes naïves ?
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Si je peux démontrer le théorème fondamental de l'arithmétique sans la notion de PPCM, oui tout à fait.

    Cela dit, si je peux utiliser l'identité $|ab| = PGCD(a,b) \times PPCM(a,b)$, ça serait encore plus simple. Plus simple dans le sens, artillerie moins lourde, en tout cas, je trouve. Donc j'aimerais essayer avec ça.

    Si $d = PGCD(a,b)$, il existe $a'$ et $b'$ tels que $a=da'$ et $b=db'$, de sorte que $|ab|=d^2|a'b'|$. Si je pose $m=d|a'b'|$, il faudrait que je démontre que $(a \mathbb{Z} \cap b \mathbb{Z}) \subset m \mathbb{Z}$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Où vois-tu le ppcm utilisé dans la démonstration du "théorème fondamental de l'arithmétique" ?

    Sinon, pour la démonstration que tu esquisses, il faut bien sûr utiliser que $a'$ et $b'$ sont premiers entre eux (il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $d=ua+vb$, donc $1=ua'+vb'$). Si $n$ est un multiple commun de $a$ et $b$, alors il est divisible par $d$ et $n/d$ est un multiple commun de $a'$ et $b'$, donc un multiple de $a'b'$ (Gauss).
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je n'en vois pas, je disais juste que tant qu'on ne fait pas de raisonnement "j'utilise un résultat qui présuppose qu'on ait démontré $A$ pour démontrer $A$", ça me va ! Plus de détails dans un message privé que je t'ai envoyé.

    Et oui, ce que tu viens d'écrire me convient assez bien. Je ne suis pas un grand ami de l'arithmétique... avant, c'était l'analyse qui me posait des problèmes, mais je commence à savoir me débrouiller avec ça. L'arithmétique, c'est différent, je devrais savoir faire mais je n'aime juste pas ça :-D

    Merci en tout cas !
  • soland
    soland
    Pour la question initiale:
    On regarde si $b$ est un multiple de $a$. Si oui $b$ est le ppmc cherchè.
    Sinon, on regarde si $2b$ est un multiple de $a$. Si oui $2b$ est le ppmc cherchè.
    Sinon, on regarde si $3b$ est un multiple de $a$. Si oui $3b$ est le ppmc cherchè.

    etc.

    Si on n'a rien trouvé avant, $ab$ est le ppmc cherché.

    Variante :
    $\mathbb{N}$ est bien ordonné : tout sous-ensemble non vide a un plus petit élément.
    L'ensemble des multiples communs de $a$ et $b$ n'est pas vide car il contient $ab$.
    Donc...
  • Homo Topi
    Homo Topi
    La variante avec le bon ordre, j'aime bien ! Et j'aurais dû réussir à y penser.

    Il faut juste faire attention, parce que le "plus petit" dans PPCM concerne la relation de divisibilité et pas l'ordre usuel. Cependant, dans $\mathbb{Z}$ c'est difficile de diviser un nombre si on est plus grand que lui. Donc on s'en sortira.

    EDIT : quoique, ça ne m'a pas l'air évident...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    L'argument de Soland ne montre absolument pas que le multiple commun le plus petit pour l'ordre habituel sur $\mathbb N$ divise tous les multiples communs.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    C'est piégeux, ces dénominations ! Quand on commence à mélanger les ordres.

    En attendant, ce que tu as dit avant résout mon problème.
  • soland
    soland
    Soit x un multiple commun de $a$ et $b$, $z=ppmc(a,b)$ et $d=pgcd(x,z)$.
    On sait qu'il existe $u$ et $v$ tels que $d=ux+vz$.
    $a$ divise $x$ et $z$, donc aussi $d$. $b$ divise $x$ et $z$, donc aussi $d$.
    $d$ est donc un multiple commun de $a$ et $b$.
    $d$ divise $z$ donc $d\leq z$ qui est le $ppmc(a,b)$. Donc $d=z$.
    Comme $d$ divise $x$, $x$ est un multiple de $d=z$.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Ben, là tu admets que $a$ et $b$ admettent un PPCM, or mon objectif est de démontrer qu'ils en admettent un.

    Le truc de GBZM marche très bien.
  • soland
    soland
    Ma première intervention montre l'existence du ppmc
    La deuxième que ce ppmc divise tout multiple commun
    Y a qu'à les appondre...

    Enfin, il semble que tu as trouvé ton bonheur,
    Tant mieux

    Le problème m'a amusé.
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