Petite mise en forme ce matin

C'est vrai que l'on peut remplacer sept par n'importe quel entier.

Quant à moi, j'ai pensé à une inversion.

Bonjour chers ami(e)s enti(ers)(-ères) et rationnel(le)s.

Dans $\mathbb{Q}^n$ on envisage la projection stéréographique $prj$ de la sphère unité
$S:\sum_1^n x_i^2=1$ privée du point $p:(1,0,0,\cdots)$ vers le plan $P:x_1=0$.
Rappelons que $prj$ envoie tout point $q$ de $S\backslash\{p\}$ vers l'intersection de la
droite $pq$ avec $P$.
$prj$ est une bijection, sa réciproque est $jrp$. Elles sont décrites respectivement par
\begin{align*}
prj :& (x_1,x_2,\,\cdots\,x_n) \;tq. {\textstyle\sum_1^n} x_i^2=1 \longmapsto \frac{1}{1-x_1}\,(0,x_2,\,\cdots\,x_n) \\
jrp :& (0,x_2,\,\cdots\,x_n) \longmapsto \frac{1}{s}\,(y_1,2x_2,2x_3,\,\cdots\,2x_n), \\
\text{où}& s=1+\sum_2^n x_i^2 \qquad\text{et}\qquad y_1 =-1+ \sum_2^n x_i^2

\end{align*} On en déduit toutes les solutions rationnelles de $\sum_1^n x_i^2 = k^2$.