Équation diophantienne

Zazoux · May 2019

Bonjour à tous,
mon problème est assez simple.

Considerons la fraction :

k = (c+a*d) / (d - a*b)

où b,c,d sont des entiers connus et a est un entier à déterminer.
Determiner a de telle manière que k soit entier.
Exemple:
c= 166 , b = 6, d = 175
donc dans ce cas précis, pour que k soit entier, a doit avoir la valeur de 12,
et k = (166 + 12*175) / (175 - 12*6) = 2266/103 = 22.
Dans le cas général, existe-il une procédure pour trouver a qui satisfait cette condition, sans passer par tous les a, de 1 à la valeur finale ?
Merci en avance pour toute suggestion ou réponse.
Cordialement.

YvesM · May 2019

Bonjour,

Si $d\leq b$, alors $a=0$ ($d=b$ et $c=d=0$ et $k=0$) ou $a=1$ ($kd=c$) ou pas de solution.
Vérifie et cherche le cas $d>b$.

Si $b>d$, alors $a=1$ ($k=0$ et $c=d=0$) ou $a=0$ ($kd=c$) ou pas de solution.

Tu peux chercher des solutions avec $a$ entier relatif.

J.Faizant · May 2019

En utilisant la forme canonique de la fonction homographique f(k,a)= bak+da-kd+c , on trouve que nécessairement:

(d-ba)(d+bk)=d²+ bc .Donc, à toute décomposition du naturel d²+bc en produit de deux facteurs A et B correspond une solution pourvu que A ,B, d, soient congrus modulo b.

Dans votre exemple on a: AB=d²+bc =31621=103.307, A=103,B=307, b=6 ,d=175 et on a bien A congru à B congru à d congru à 1 modulo 6.
Les solutions sont données par: a=(d-A)/b=(175-103)/6=12 et k=(B-d)/b=(307-175)/6=22

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