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Minimisation d'une suite à deux variables

Envoyé par amine82 
Minimisation d'une suite à deux variables
il y a cinq mois
Bonjour
Je me pose une question.

Pour $(a,b,k)$ des entiers naturels fixes et $(n,\ell)$ des entiers naturels variables, pour quelles valeurs de $n$ et $\ell$ la valeur $|a^n-kb^\ell|$ est minimale ?

Merci pour vos réponses.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: minimisation d'une suite à deux variables
il y a cinq mois
On ne connait pas la réponse. Cependant, on peut avancer que le min est atteint pour des faibles valeurs de n et l ( les nombres en puissance ont tendance à s'éloigner les uns des autres ).
Re: minimisation d'une suite à deux variables
il y a cinq mois
nodgim $n$ et $l$ ne sont pas forcément égaux .
Re: Minimisation d'une suite à deux variables
il y a cinq mois
Évidemment, n et l ne sont pas égaux en général pour le min. ça ne change rien à ce que j'ai écrit, quoique je n'ai pas affirmé grand chose, seulement une tendance.
Re: Minimisation d'une suite à deux variables
il y a cinq mois
On va supposer que a est premier avec kb.
Dans ce cas, il y a une solution qui donne 1 comme résultat, et il n'y a pas mieux.

Si a n'est pas premier avec kb, soit c = pgcd(a,kb), alors la meilleure solution donnera c.

C'était juste pour relancer le sujet, en fait, je n'ai aucune certitude sur ce que j'écris, et je suis bien incapable de proposer une méthode pour déterminer les valeurs de n et l qui conviennent.
Re: Minimisation d'une suite à deux variables
il y a cinq mois
Heu ... si a=kb (cas particulier de "a n'est pas premier avec kb"), la meilleure solution est 0. Pour n=l=1.

Et il y a d'autres cas particuliers où le minimum est 0.

Cordialement.
Re: Minimisation d'une suite à deux variables
il y a cinq mois
@ Iourran : es tu sûr que si a est premier avec kb, tu pourras toujours avoir 1 comme min ?
Re: Minimisation d'une suite à deux variables
il y a cinq mois
Je n'ai aucune certitude, je voulais juste relancer le sujet. Et effectivement, en faisant quelques simulations, je doute.
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