Minimisation d'une suite à deux variables

amine82 · May 2019

Bonjour
Je me pose une question.

Pour $(a,b,k)$ des entiers naturels fixes et $(n,\ell)$ des entiers naturels variables, pour quelles valeurs de $n$ et $\ell$ la valeur $|a^n-kb^\ell|$ est minimale ?

Merci pour vos réponses.

nodgim · May 2019

On ne connait pas la réponse. Cependant, on peut avancer que le min est atteint pour des faibles valeurs de n et l ( les nombres en puissance ont tendance à s'éloigner les uns des autres ).

amine82 · May 2019

nodgim $n$ et $l$ ne sont pas forcément égaux .

nodgim · May 2019

Évidemment, n et l ne sont pas égaux en général pour le min. ça ne change rien à ce que j'ai écrit, quoique je n'ai pas affirmé grand chose, seulement une tendance.

lourrran · May 2019

On va supposer que a est premier avec kb.
Dans ce cas, il y a une solution qui donne 1 comme résultat, et il n'y a pas mieux.

Si a n'est pas premier avec kb, soit c = pgcd(a,kb), alors la meilleure solution donnera c.

C'était juste pour relancer le sujet, en fait, je n'ai aucune certitude sur ce que j'écris, et je suis bien incapable de proposer une méthode pour déterminer les valeurs de n et l qui conviennent.

gerard0 · May 2019

Heu ... si a=kb (cas particulier de "a n'est pas premier avec kb"), la meilleure solution est 0. Pour n=l=1.

Et il y a d'autres cas particuliers où le minimum est 0.

Cordialement.

nodgim · May 2019

@ Iourran : es tu sûr que si a est premier avec kb, tu pourras toujours avoir 1 comme min ?

lourrran · May 2019

Je n'ai aucune certitude, je voulais juste relancer le sujet. Et effectivement, en faisant quelques simulations, je doute.

Minimisation d'une suite à deux variables

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