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Décomposition d'un premier

Envoyé par dig 
dig
Décomposition d'un premier
il y a deux mois
Est-ce qu'il y a des résultats sur la décomposition d'un premier $p$ dans le corps réel maximal d'un corps cyclotomique ?
Donnez-moi des références sur ceci.
M
erci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Décomposition d'un premier
il y a deux mois
Le sous-corps réel maximal de $K=\mathbb Q(\zeta_n)$ étant d'indice $2$ dans celui-ci, il n'y a pas beaucoup de possibilités différentes. La décomposition d'un nombre premier dans $K$ est très bien connue. Si $p$ se décompose dans $K$ sous la forme $(\mathfrak p_1 \dots \mathfrak p_g)^e$ avec les $\mathfrak p_i$ premiers deux à deux distincts, $N_{K/\mathbb Q} \mathfrak p_i = p^f$ et $efg=\varphi(n)$ alors dans $K^+$ il se décompose sous la forme $(\mathfrak p_1' \dots \mathfrak p_{g'}')^{e'}$ avec les $\mathfrak p_i'$ premiers deux à deux distincts, $N_{K^+/\mathbb Q} \mathfrak p_i' = p^{f'}$, $e'f'g'=\frac{\varphi(n)}{2}$ et $e' \mid e$, $f' \mid f$, $g' \mid g$. On a donc égalité dans deux de ces divisibilités, et la dernière quantité vérifie $a' = \frac{a}{2}$, avec $a \in \{e,f,g\}$.
Re: Décomposition d'un premier
il y a deux mois
Bonjour,

Pour compléter la réponse de Poirot :

On a un isomorphisme canonique $\mathrm{Gal}(\Q(\zeta_n)^+/\Q) \cong (\Z/n\Z)^\times/\pm 1$, qui pour $p\nmid n$ envoie $\mathrm{Frob}_p$ sur la classe de $p$.

Ainsi, pour $p\nmid n$, les indices $e',f',g'$ satisfont $e'=1$, $e'f'g'=\varphi(n)/2$, et $f'$ est l'ordre de $p$ dans $(\Z/n\Z)^\times/\pm 1$.

Il y a une description analogue pour $p\mid n$, mais plutôt que je te donne une recette, il vaut mieux que tu apprennes la théorie des groupes de ramification et des éléments de Frobénius, que tu trouveras dans n'importe quel livre de théorie algébrique des nombres.

Amicalement,
Aurel
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