Décomposition d'un premier
dans Arithmétique
Est-ce qu'il y a des résultats sur la décomposition d'un premier $p$ dans le corps réel maximal d'un corps cyclotomique ?
Donnez-moi des références sur ceci.
Merci.
Donnez-moi des références sur ceci.
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Réponses
Pour compléter la réponse de Poirot :
On a un isomorphisme canonique $\mathrm{Gal}(\Q(\zeta_n)^+/\Q) \cong (\Z/n\Z)^\times/\pm 1$, qui pour $p\nmid n$ envoie $\mathrm{Frob}_p$ sur la classe de $p$.
Ainsi, pour $p\nmid n$, les indices $e',f',g'$ satisfont $e'=1$, $e'f'g'=\varphi(n)/2$, et $f'$ est l'ordre de $p$ dans $(\Z/n\Z)^\times/\pm 1$.
Il y a une description analogue pour $p\mid n$, mais plutôt que je te donne une recette, il vaut mieux que tu apprennes la théorie des groupes de ramification et des éléments de Frobénius, que tu trouveras dans n'importe quel livre de théorie algébrique des nombres.
Amicalement,
Aurel