Décomposition d'un premier

Le sous-corps réel maximal de $K=\mathbb Q(\zeta_n)$ étant d'indice $2$ dans celui-ci, il n'y a pas beaucoup de possibilités différentes. La décomposition d'un nombre premier dans $K$ est très bien connue. Si $p$ se décompose dans $K$ sous la forme $(\mathfrak p_1 \dots \mathfrak p_g)^e$ avec les $\mathfrak p_i$ premiers deux à deux distincts, $N_{K/\mathbb Q} \mathfrak p_i = p^f$ et $efg=\varphi(n)$ alors dans $K^+$ il se décompose sous la forme $(\mathfrak p_1' \dots \mathfrak p_{g'}')^{e'}$ avec les $\mathfrak p_i'$ premiers deux à deux distincts, $N_{K^+/\mathbb Q} \mathfrak p_i' = p^{f'}$, $e'f'g'=\frac{\varphi(n)}{2}$ et $e' \mid e$, $f' \mid f$, $g' \mid g$. On a donc égalité dans deux de ces divisibilités, et la dernière quantité vérifie $a' = \frac{a}{2}$, avec $a \in \{e,f,g\}$.