Hypothèse de Riemann généralisée
dans Arithmétique
Bonjour
Désolé pour le titre un peu vague.
J'ai un souvenir sur une certaine fonction ayant une équation fonctionnelle très proche des fonctions L mais ne vérifiant pas l'hypothèse de Riemann généralisée. Je n'ai pas de souvenir précis de cette fonction, je crois me rappeler qu'elle n'admettait pas de produit eulerien. Savez-vous s'il existe un résultat impliquant que la condition "avoir un produit eulerien" est une condition sine qua non pour que la fonction vérifie (du moins a priori puisque c'est une question ouverte) l'hypothèse de Riemann généralisée ? Je ne sais pas si ma question est très claire.
Je soupçonne un peu qu'un tel résultat n'existe pas mais peut-être existe-t-il quelques arguments heuristiques convaincant allant dans ce sens ?
Les zéros de ces fonctions étant directement reliés à la répartition des nombres premiers, la condition d'une telle propriété semblerait "logique" (du moins pour moi, mais mes connaissances ne me permettent pas de l'affirmer avec certitude...).
Merci d'avance.
Désolé pour le titre un peu vague.
J'ai un souvenir sur une certaine fonction ayant une équation fonctionnelle très proche des fonctions L mais ne vérifiant pas l'hypothèse de Riemann généralisée. Je n'ai pas de souvenir précis de cette fonction, je crois me rappeler qu'elle n'admettait pas de produit eulerien. Savez-vous s'il existe un résultat impliquant que la condition "avoir un produit eulerien" est une condition sine qua non pour que la fonction vérifie (du moins a priori puisque c'est une question ouverte) l'hypothèse de Riemann généralisée ? Je ne sais pas si ma question est très claire.
Je soupçonne un peu qu'un tel résultat n'existe pas mais peut-être existe-t-il quelques arguments heuristiques convaincant allant dans ce sens ?
Les zéros de ces fonctions étant directement reliés à la répartition des nombres premiers, la condition d'une telle propriété semblerait "logique" (du moins pour moi, mais mes connaissances ne me permettent pas de l'affirmer avec certitude...).
Merci d'avance.
Réponses
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Je pense que tu veux parler de la fonction L de Davenport-Heilbronn. Pour le produit eulérien je n'ai pas de preuve qu'il s'agisse d'une condition sine qua non comme tu dis mais mes investigations personnelles sur le sujet m'incitent à penser que c'est bien le cas.
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Les combinaisons linéaires de fonction L ont plein de zéros dans $\Re(s) \in (1-\epsilon,1+\epsilon)$ (pour $L_1(s)+b L_2(s)=b L_1(s)(L_2(s)/L_1(s)+1/b)$ la preuve est la même que pour montrer que $\zeta(s)+1/b$ a plein de zéros)
Les combinaisons linéaires de fonction L de Dirichlet sont les séries de Dirichlet avec $(s-1)F(s)$ analytique pour $\Re(s) \ge 0$ et
$F(1-s) = \frac{ \pi^s}{Q(-s)} (\frac{\Gamma( (1-s)/2)}{\Gamma( s)/2)} f(s)+ \frac{\Gamma( (-s)/2)}{\Gamma( (s+1))/2)} g(s))$ avec $f,g$ deux séries de Dirichlet qui convergent pour $\Re(s) > 1$ et $Q$ une série de Dirichlet avec un nombre fini de termes
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