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Hypothèse de Riemann généralisée

Envoyé par Guigui102 
Hypothèse de Riemann généralisée
il y a six mois
Bonjour
Désolé pour le titre un peu vague.
J'ai un souvenir sur une certaine fonction ayant une équation fonctionnelle très proche des fonctions L mais ne vérifiant pas l'hypothèse de Riemann généralisée. Je n'ai pas de souvenir précis de cette fonction, je crois me rappeler qu'elle n'admettait pas de produit eulerien. Savez-vous s'il existe un résultat impliquant que la condition "avoir un produit eulerien" est une condition sine qua non pour que la fonction vérifie (du moins a priori puisque c'est une question ouverte) l'hypothèse de Riemann généralisée ? Je ne sais pas si ma question est très claire.
Je soupçonne un peu qu'un tel résultat n'existe pas mais peut-être existe-t-il quelques arguments heuristiques convaincant allant dans ce sens ?
Les zéros de ces fonctions étant directement reliés à la répartition des nombres premiers, la condition d'une telle propriété semblerait "logique" (du moins pour moi, mais mes connaissances ne me permettent pas de l'affirmer avec certitude...).

Merci d'avance.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
Re: Hypothèse de Riemann généralisée
il y a six mois
avatar
Je pense que tu veux parler de la fonction L de Davenport-Heilbronn. Pour le produit eulérien je n'ai pas de preuve qu'il s'agisse d'une condition sine qua non comme tu dis mais mes investigations personnelles sur le sujet m'incitent à penser que c'est bien le cas.
Re: Hypothèse de Riemann généralisée
il y a six mois
Les combinaisons linéaires de fonction L ont plein de zéros dans $\Re(s) \in (1-\epsilon,1+\epsilon)$ (pour $L_1(s)+b L_2(s)=b L_1(s)(L_2(s)/L_1(s)+1/b)$ la preuve est la même que pour montrer que $\zeta(s)+1/b$ a plein de zéros)

Les combinaisons linéaires de fonction L de Dirichlet sont les séries de Dirichlet avec $(s-1)F(s)$ analytique pour $\Re(s) \ge 0$ et

$F(1-s) = \frac{ \pi^s}{Q(-s)} (\frac{\Gamma( (1-s)/2)}{\Gamma( s)/2)} f(s)+ \frac{\Gamma( (-s)/2)}{\Gamma( (s+1))/2)} g(s))$ avec $f,g$ deux séries de Dirichlet qui convergent pour $\Re(s) > 1$ et $Q$ une série de Dirichlet avec un nombre fini de termes



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par reuns.
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