Interprétation du lemme de Gauss

Bonjour,

Supposons $mx=ny$, avec :
1) $m$, $n$, deux entiers fixés.
2) $y$ un entier quelconque (non fixé).
3) $x$, l'inconnue dont on "sait" que sa valeur est entière mais dépendante de la variable $y$.

Si $m\neq 0$, alors $x=\frac{ny}{m}$, c'est-à-dire $m\mid ny$.
J'en conclus que $m\mid n$, car :
- si $m=1$, alors $m\mid n$
- si $m\neq 1$, alors $m\mid ny$ mais $m$ ne divise pas toujours $y$. Donc, $m$ divise toujours $n$.

Cette interprétation du lemme de Gauss est-elle correcte ?
Merci d'avance.