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Interprétation du lemme de Gauss

Envoyé par Sneg 
Interprétation du lemme de Gauss
il y a six mois
Bonjour,

Supposons $mx=ny$, avec :
1) $m$, $n$, deux entiers fixés.
2) $y$ un entier quelconque (non fixé).
3) $x$, l'inconnue dont on "sait" que sa valeur est entière mais dépendante de la variable $y$.

Si $m\neq 0$, alors $x=\frac{ny}{m}$, c'est-à-dire $m\mid ny$.
J'en conclus que $m\mid n$, car :
- si $m=1$, alors $m\mid n$
- si $m\neq 1$, alors $m\mid ny$ mais $m$ ne divise pas toujours $y$. Donc, $m$ divise toujours $n$.

Cette interprétation du lemme de Gauss est-elle correcte ?
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
Re: Interprétation du lemme de Gauss
il y a six mois
avatar
Dans le lemme de Gauss il y a la condition que deux nombres sont premiers entre eux.
Je ne vois pas cette condition dans le message précédent.

PS:
Quid de:
$n=2,y=2,m=4,x=1$?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Interprétation du lemme de Gauss
il y a six mois
Sneg,

tu sembles avoir une bizarre conception de la divisibilité : "... mais m ne divise pas toujours y donc m divise toujours n" ?
Peux-tu expliquer ce que veut dire ce "toujours" que j'ai souligné ?
Ta phrase me fait penser que tu as caché une partie de l'énoncé, que ce n'est pas "mx=ny" mais quelque chose comme "pour tout y il existe un x tel que mx=ny". Est-ce le cas ?
Re: Interprétation du lemme de Gauss
il y a six mois
@ Fin de partie :
C'est exact. Merci beaucoup.

@ gerard0 :
Ton interprétation est la bonne.
Et, oui, j'ai caché une partie de l'énoncé, ce qui rend mon message initial pour le moins maladroit. Heureusement, grâce à vous, j'ai les réponses aux questions que je me posais en secret.

Pardonnez-moi si vous trouvez que j'entoure ce fil de mystères.
Encore merci à tous les deux !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par Sneg.
Re: Interprétation du lemme de Gauss
il y a six mois
Il ne s'agit pas de mystère, mais d'énoncé précis. Ta réponse semble dire que l'énoncé est bien : "on suppose que pour tout y entier, il existe un x tel que mx=ny". Dans ce cas, en prenant y premier avec m on peut conclure.

Cordialement.
Re: Interprétation du lemme de Gauss
il y a six mois
C’est bien cela, gerard0. Merci.

Cela dit, à la réflexion, ces «mystères» me semblent bien inutiles car il est sans doute plus sage que je cesse de proposer des «divertissements», c’est-à-dire des petites énigmes de mon cru.
Re: Interprétation du lemme de Gauss
il y a six mois
avatar
Sneg:

Pour moi, ta déduction est incorrecte et je t'ai donné un exemple qui va dans ce sens plus haut.
Dans ton premier message il n'y aucune mention de nombres premiers entre eux.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Interprétation du lemme de Gauss
il y a six mois
Tu as raison, Fin de partie.

Si tu le veux bien, je reviendrai un jour sur la question, mais sans plus faire de mystère.

Encore merci à gerard0 et toi.
GG
Re: Interprétation du lemme de Gauss
il y a six mois
On suppose m et n non nuls. Je note (m, n) le pgcd de m et n.
On a m = (m, n) k et n = (m, n) h avec (k, h) = 1.

m x = n y
k x = h y

k divise donc y d'après le lemme de Gauss. Ainsi, si y n'est pas un multiple de k, pas de solution pour x, et si y = k t est un multiple de k, on a
k x = h k t
x = h t solution unique.
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