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Pente du volume d'une hypersphère en dim -2

Envoyé par ju'gle 
Pente du volume d'une hypersphère en dim -2
il y a six mois
avatar
Salut les bonzés,
vieux jongleur, j'ai pris l'habitude d'interroger Wolfram mais me voilà, hypersphère en dimension -2 et la question consiste à définir la pente ... "d'apparition"!
Quelqu'un peut-il m'éclairer sur ce point ... et sa valeur ?
Merci pour votre attention.

"To be AND not to be, that's the quantic...."



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
Re: pente du volume d'une hypersphère en dim -2
il y a six mois
Je n'ai absolument rien compris à ton message ? Quelle est la question ? C'est quoi une hypersphère de dimension $-2$ ?
Re: pente du volume d'une hypersphère en dim -2
il y a six mois
avatar
Yes..., j'imagine une sphère de dimension n et de rayon 1 avec une fonction de n représentative du "volume". Le volume de cette sphère s'annule précisément pour n=-2 (cercle rose) avec une pente dont je cherche la valeur....



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par ju'gle.


Re: pente du volume d'une hypersphère en dim -2
il y a six mois
Mais de quelle pente parles-tu ? Tu ne veux pas formaliser un peu ton problème ?

J'ai l'impression que tu t'amuses à regarder la fonction $x \mapsto \dfrac{\pi^{x/2}}{\Gamma\left(\frac{x}{2} + 1\right)}$, qui donne le volume de l'hypersphère de dimension entière $n \geq 1$ quand $x=n$ et qui effectivement s'annule en $-2$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par Poirot.
Re: pente du volume d'une hypersphère en dim -2
il y a six mois
avatar
Je ne suis pas vraiment un matheux, je ne comprend pas quel paramètre manque à ma question.....(?)
la pente dont je parle est la dérivée (ou surface en ce cas).
Re: pente du volume d'une hypersphère en dim -2
il y a six mois
Bon quand on donne des mots convenables on se comprend tout de suite mieux.

La fonction en question est $$V : x \mapsto \dfrac{\pi^{x/2}}{\Gamma\left(\frac{x}{2} + 1\right)},$$ il n'est pas trop compliqué de calculer sa dérivée en n'importe quel réel $x$ qui n'est pas un entier négatif pair, en utilisant les règles de dérivations connues dès le lycée :

$$V'(x) = \frac{\pi^{x/2} \ln \pi}{2\Gamma\left(\frac{x}{2}+1\right)} - \frac{\pi^{x/2} \Gamma'\left(\frac{x}{2}+1\right)}{2\Gamma\left(\frac{x}{2}+1\right)^2}.$$ Le premier terme tend vers $0$ quand $x$ tend vers $-2$, et un petit calcul montre que le deuxième terme tend vers $\frac{1}{2\pi}$.

La "pente" que tu recherches est donc $\frac{1}{2\pi}$.
Re: pente du volume d'une hypersphère en dim -2
il y a six mois
avatar
Yes, merci Poirot,

le résultat touche à ma délicatesse.... Merci pour cette analyse et je l'espère, au bénéfice de tous....

(Je ne cache pas que l'explication de cette dérivée m'échappe...)

"To be AND not to be, that's the quantic...."
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