Pente du volume d'une hypersphère en dim -2

Je n'ai absolument rien compris à ton message ? Quelle est la question ? C'est quoi une hypersphère de dimension $-2$ ?

Mais de quelle pente parles-tu ? Tu ne veux pas formaliser un peu ton problème ?

J'ai l'impression que tu t'amuses à regarder la fonction $x \mapsto \dfrac{\pi^{x/2}}{\Gamma\left(\frac{x}{2} + 1\right)}$, qui donne le volume de l'hypersphère de dimension entière $n \geq 1$ quand $x=n$ et qui effectivement s'annule en $-2$.

Bon quand on donne des mots convenables on se comprend tout de suite mieux.

La fonction en question est $$V : x \mapsto \dfrac{\pi^{x/2}}{\Gamma\left(\frac{x}{2} + 1\right)},$$ il n'est pas trop compliqué de calculer sa dérivée en n'importe quel réel $x$ qui n'est pas un entier négatif pair, en utilisant les règles de dérivations connues dès le lycée :

$$V'(x) = \frac{\pi^{x/2} \ln \pi}{2\Gamma\left(\frac{x}{2}+1\right)} - \frac{\pi^{x/2} \Gamma'\left(\frac{x}{2}+1\right)}{2\Gamma\left(\frac{x}{2}+1\right)^2}.$$ Le premier terme tend vers $0$ quand $x$ tend vers $-2$, et un petit calcul montre que le deuxième terme tend vers $\frac{1}{2\pi}$.

La "pente" que tu recherches est donc $\frac{1}{2\pi}$.