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Corps des classes

Envoyé par dig 
dig
Corps des classes
il y a deux mois
Bonjour
Soit $L/K$ une extension non ramifiée telle que le $2$-groupe de classe de $K$ est cyclique alors

$K^{(1)}=L^{(1)},$
où $K^{(1)}$(resp. $L^{(1)}$) est le $2$-corps de classes de $K$(resp. $L$).

Comment prouver ce résultat ? Dans quel livre je peux le trouver ?
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Corps des classes
il y a sept semaines
Bonjour
Ce résultat n'est pas toujours vrai. Il suffit de prendre $K$ de nombre de classe impair.

Et même il y a des exemples de corps biquadratique $k$ dont le $2$-groupe de classe est de type $(2,2)$ telles $k^{(1)}=k^{(2)}$ et le corps de genre $k^*$ de $k$ est telle que $[k^*:k]=2$ et le $2$-groupe de classe $k^*$ est cyclique d'ordre divisible par $4$. Donc si tu prend $K=k^*$ et $L=k^{(1)}$, c'est un autre contre exemple.
Re: Corps des classes
il y a sept semaines
Salut,

@dig : Est-ce qu'il ne manquerait pas l'hypothèse que $L/K$ est une $2$-extension abélienne ?

@chems : Est-ce que tu aurais un exemple explicite de tel corps biquadratique ? Je pourrais écrire une boucle pour le chercher mais j'ai la flemme winking smiley

Amitiés,
Aurel
Re: Corps des classes
il y a sept semaines
@aurelpage, malheureusment je n'ai pas trouvé des exemples publiés mais voici certains exemples (on peut les vérifier par Pari/gp, car les preuves sont longues).
Soient :
$p=11$ et $q=73$
$p=19$ et $q=89$
Posons $k=\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{-pq})$. On a $k^*=\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{p},\sqrt{-q})$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Corps des classes
il y a sept semaines
@chems: les deux extensions $k^*/k$ que tu décris sont ramifiées (tu as dû te tromper dans les signes).

Aurel



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par aurelpage.
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