Corps des classes

Bonjour
Ce résultat n'est pas toujours vrai. Il suffit de prendre $K$ de nombre de classe impair.

Et même il y a des exemples de corps biquadratique $k$ dont le $2$-groupe de classe est de type $(2,2)$ telles $k^{(1)}=k^{(2)}$ et le corps de genre $k^*$ de $k$ est telle que $[k^*:k]=2$ et le $2$-groupe de classe $k^*$ est cyclique d'ordre divisible par $4$. Donc si tu prend $K=k^*$ et $L=k^{(1)}$, c'est un autre contre exemple.

@aurelpage, malheureusment je n'ai pas trouvé des exemples publiés mais voici certains exemples (on peut les vérifier par Pari/gp, car les preuves sont longues).
Soient :
$p=11$ et $q=73$
$p=19$ et $q=89$
Posons $k=\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{-pq})$. On a $k^*=\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{p},\sqrt{-q})$.