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Fibonacci

Envoyé par nodgim 
Fibonacci
il y a deux mois
Bonjour @ tous.

Quels sont les m, m entier > 1 , tel que m*Fa = Fb + Fc ?

Si ça marche pour le triplet min (a,b,c), ça doit être également vrai pour tout triplet (a+d, b+d, c+d) pour tout d entier > 0)

Le plus petit est 2 , car 2*Fk = F( k-2) + F(k+1)

Bon amusement



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par nodgim.
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Tu n'as pas quantifié en $a,b$ et $c$.
Re: Fibonacci
il y a deux mois
En fait, l'exemple donné permet de comprendre : pour toute valeur de $k$, $3F_k= F_{k-2}+F_{k+2}$
Idem : $4F_k = F_{k+3}-F_{k-3}$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Fibonacci
il y a deux mois
C'est à dire que, pour un " m " trouvé, alors, à partir d'une valeur minimale de " a ", La relation est toujours vraie.

Si m * Fa = Fb + Fc alors m * F(a+d) = F(b+d) + F(c+d) quel que soit d entier.
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Plus généralement: $F_{k+p}+(-1)^pF_{k-p}=L_pF_k$ où $(L_p)$ désigne la suite de Lucas.
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Bonjour à tous,

Nodgim, $2F_1=F_2+F_2$ et pour tout $d$ entier positif non nul $2F_{1+d} \neq F_{2+d}+F_{2+d}$ spinning smiley sticking its tongue out

Cordialement

Paul
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Ici, je ne me suis intéressé qu'aux sommes de 2 nombres F, pas à la différence.

@ Jandri: c'est sûrement vrai, mais pourquoi ? N'y aurait il pas d'autres cas ?

@ Dépasse : 2 * Fk = F(k-2) + F(k+1) est vrai pour tout k >= 2
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Notons $p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

On sait que quand k tend vers $+\infty$, $F_{k+1}/F_k$ tend vers $p$.

On cherche a,b,c,m tels que, pour tout k entier , $m.F_{k+a} = F_{k+b} + F_{k+c}$
On va le reformuler, en imposant a=0, ça ne change rien à l'exercice.
On cherche donc b,c,m tels que, pour tout k entier , $m.F_{k} = F_{k+b} + F_{k+c}$

b et c sont évidemment des entiers, m est un rationnel (probablement entier)
Si on a notre égalité $m.F_{k} = F_{k+b} + F_{k+c}$ pour tout k entier, on a, par passage à la limite :
$m = p^b +p^c$

Je n'ai pas recherché toutes les solutions de cette équation, mais ça me paraît une bonne piste pour un recensement de toutes les solutions.
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Avec les notations de lourrran ($p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$) on a $p^k=F_k p+F_{k-1}$. On en déduit les solutions de l'équation $p^b+p^c\in \N$.

Les entiers $b,c,m$ (avec $m>1$) tels que pour tout $k$ entier on ait $m F_k=F_{k+b}+F_{k+c}$ sont d'une part $b=2r$, $c=-2r$, $m=L_{2r}$ et d'autre part $b=1$, $c=-2$, $m=2$.

Edit: j'ai oublié le cas trivial: $b=c=0$ , $m=2$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par jandri.
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Je dois dire que je suis loin d'être satisfait par ces réponses.....
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Si la question posée est "Quels sont les entiers $m>1$ tels qu'il existe $(a,b,c)$ vérifiant $m*F_a = F_b + F_c$ ? ", les calculs que j'ai fait avec Maple (en allant jusqu'à $F_{5000}$, nombre ayant plus de $1000$ chiffres) me laissent penser que les premières valeurs de $m$ qui ne conviennent pas sont: $25,27,31,32,40$.
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Je tenais pour acquis que la mise au point de l'énoncé était claire. J'ai apporté une nouvelle correction.
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Avec cet énoncé précisé j'ai déjà donné la réponse:

les entiers $m > 1$, tels qu'il existe $(a,b,c)$ entiers vérifiant $m*F_{a+d} = F_{b+d} + F_{c+d}$ pour tout entier $d> 0$, sont les $L_{2r}$ , $r\ge0$ (suite de Lucas).
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Bonsoir;

Nodgim, je ne comprends pas ton insatisfaction par "ces réponses":

1)Jandri donne les $m\geq 2$ pour lesquels il existe $(a,b,c) \in \mathbb N^3$ tel que pour tout $d \in \mathbb N \ \ ,m * F_{a+d}= F_{b+d}+ F_{c+d}$

2)Il existe $m\geq 2$ pour lequel il existe $(a,b,c,d) \in \mathbb N^4$ tel que $m * F_{a}= F_{b}+ F_{c}$ et
$m * F_{a+d}\neq F_{b+d}+ F_{c+d}$: exemple :$m=2, (a,b,c)=(1,2,2), d>0$.

Jandri, te voyant insatisfait, imagine que tu voulais peut-être poser une question plus hard: Existe-t-il $m\geq 2$ tel qu'il n'existe pas $(a,b,c)\in \mathbb N^{*3}$ vérifiant $m * F_{a}= F_{b}+ F_{c}$?

Bon,avant de continuer de soliloquer, je voudrais savoir, Nodgim, si tu comprends que je n'ai pas compris ton insatisfaction. Finalement, comme Poirot l'a souligné juste après ton message originel, la quantification est nécessaire pour tuer l'ambiguïté. Après, il arrive, comme ici, qu'une question mal foutue logiquement et prêtant donc à diverses interprétations conduise à une question fine (?) comme ci-dessus.

Amicalement

Paul
Re: Fibonacci
il y a deux mois
La réponse de Jandri, qui fait référence aux nombres de Lucas, est sans doute correcte, mais elle est fournie sans aucune explication. Alors que le but de la question est de faire réfléchir, de chercher la solution soi même.
J'ai demandé par ailleurs s'il n'y avait pas d'autres solutions que les nombres de Lucas, question qui est restée sans réponse.

Bon, maintenant, si la réponse donnée satisfait des lecteurs, pourquoi pas ? Sinon, la question reste ouverte pour les autres.

En s'y prenant bien, la solution est assez courte.
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Je n'ai pas détaillé la solution mais avec l'aide de lourran j'ai donné la méthode qui permet d'obtenir le résultat.

Pour ceux qui ne connaissent pas bien les suites de Fibonacci et de Lucas, on a en posant $\alpha=\dfrac{1+\sqrt 5}2$ et $\beta=\dfrac{1-\sqrt 5}2$ :
$F_n=\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$, $L_n=\alpha^n+\beta^n$, $\alpha^n=F_n\alpha+F_{n-1}$ et $F_{n-1}+F_{n+1}=L_n$.
Re: Fibonacci
il y a deux mois
N'existe-t-il pas d'autres solutions que les nombres de Lucas ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Bonjour,

Les seules solutions sont les nombres de Lucas d'indice pair:

Pour que $(m,b,c) \in\mathbb {N_{\geq 2}} \times \mathbb {Z^2}$ soit tel que, pour tout $k \in \mathbb {Z}$, $mF_k=F_{b+k}+ F_{c+k}$, il faut déjà qu'il en soit ainsi lorsque $k=0$. Il faut donc que $F_b + F_c=0$, autrement dit que $b$ et $c$ soient pairs et opposés.

Ca sent le tour de passe-passe?

Cordialement

Paul
AP
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Bonsoir
Le théorème de Zeckendorf dit que tout entier naturel non nul $e$ s'écrit comme une somme de termes de la suite de Fibonacci, 2 à 2 non consécutifs, et $F_0,F_1$ exclus , et cette écriture est unique, à l'ordre près.
Si on prend $e=kF_n$ , pour n assez grand (pour éviter $F_0,F_1$)
$2F_n=F_n+F_{n-1}+F_{n-2}=F_{n-2}+F_{n+1}$
$3F_n=F_{n-2}+F_{n+2}$ (formule de jandri $p=2,L_2=3$)
....
$14F_n=F_{n-6}+F_{n-3}+F_{n+2}+F_{n+5}$

Pour $18F_n$ on doit retrouver jandri puisque $18=L_6$
Re: Fibonacci
il y a deux mois
Bien que le théorème de Zeckendorf ne soit pas spécifiquement utile pour la démo, l'intervention d' AP fournit un gros indice, du moins pour la méthode que j'ai employée.
JLT
Re: Fibonacci
il y a deux mois
avatar
Le tour de depasse-depasse permet d'avoir une preuve assez élémentaire.

On cherche les $m>1$ entiers tels que $\exists a,b,c\in \Z,\;\forall k\geqslant 0,\; mF_{a+k}=F_{b+k}+F_{c+k}$.

Notons $E_k$ cette égalité. Comme $E_{k+1}=E_k+E_{k-1}$, l'égalité est vraie pour tout $k\in\Z$ si et seulement si elle est vraie pour deux valeurs consécutives de $k$, donc on se ramène à $a=0$, et d'autre part il suffit de considérer $k=0$ et $k=1$. On peut aussi supposer par symétrie que $b\geqslant c$.

Les équations deviennent : $F_b+F_c=0$ et $m=F_{b+1}+F_{c+1}$.

Comme $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_n$, l'égalité $F_b+F_c=0$ a lieu dans trois cas :

1) $b=-c=2\ell$ avec $\ell\in\N$. On a alors $m=F_{2\ell+1}+F_{2\ell-1}=L_{2\ell}$.

2) $b=1$, $c=-2$, $m=F_2+F_{-1}=2=L_0$.

3) $b=-1$, $c=-2$, $m=F_0+F_1=1$ qui est exclu car on a supposé $m>1$.
Re: Fibonacci
le mois dernier
Astucieux et joli ! Je prends.
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