Question bête de formalisation
dans Arithmétique
Bonsoir,
Voilà : je suis devant le problème suivant.
20 enfants attendent dans une cour de récréation que leurs grands-parents viennent les chercher. 2 enfants quelconques ont un grand-père en commun, montrer qu'un grand père a 14 petits-enfants.
La solution : On montre d'abord qu'il n'y a que 3 grands-pères, puis comme chaque enfant a 2 grands-pères, la somme du nombre de petits-enfants des grands-pères fait 40 donc comme 40 = 3*13+1, on conclut avec le principe des tiroirs.
Ma question est la suivante. Comment écrire rigoureusement en mathématiques la partie soulignée ?
Je me doute bien qu'on utilise des partitions, mais je ne trouve pas de manière élégante de le faire.
Par exemple, je pourrais prendre une fonction qui envoie chaque enfant sur son grand-père paternel, ce qui fait (en prenant les classes d'équivalence par la fonction réciproque) que la somme des enfants de chaque grand-père paternel est 20, puis on fait la même chose pour les grand-pères maternels et on conclut que la somme est 40, mais ce raisonnement m'a l'air de passer à côté d'un argument plus rapide et profond (vu que ça ressemble à une disjonction des cas de l'argument souligné plutôt qu'à l'argument souligné) ?
Voilà : je suis devant le problème suivant.
20 enfants attendent dans une cour de récréation que leurs grands-parents viennent les chercher. 2 enfants quelconques ont un grand-père en commun, montrer qu'un grand père a 14 petits-enfants.
La solution : On montre d'abord qu'il n'y a que 3 grands-pères, puis comme chaque enfant a 2 grands-pères, la somme du nombre de petits-enfants des grands-pères fait 40 donc comme 40 = 3*13+1, on conclut avec le principe des tiroirs.
Ma question est la suivante. Comment écrire rigoureusement en mathématiques la partie soulignée ?
Je me doute bien qu'on utilise des partitions, mais je ne trouve pas de manière élégante de le faire.
Par exemple, je pourrais prendre une fonction qui envoie chaque enfant sur son grand-père paternel, ce qui fait (en prenant les classes d'équivalence par la fonction réciproque) que la somme des enfants de chaque grand-père paternel est 20, puis on fait la même chose pour les grand-pères maternels et on conclut que la somme est 40, mais ce raisonnement m'a l'air de passer à côté d'un argument plus rapide et profond (vu que ça ressemble à une disjonction des cas de l'argument souligné plutôt qu'à l'argument souligné) ?
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Réponses
Ah ?
On peut avoir cette configuration : X a eu 20 enfants, chacun d'eux s'est marié et a eu 1 enfant. Les 20 enfants ont donc 1 grand-père en commun, et il y a 21 grands-pères en tout.
Quel est l'énoncé précis de l'exercice ? Mais peu importe en fait. La question n'était pas sur ce point.
Soit G = l'ensemble des couples (petit-fils,grand-père) ou de façon plus formelle : G = {(x,y), y est le grand-père de x }
On sait que $card(G)=40$
Je disais que ta solution d'un seul grand-père est possible (j'avais effectivement oublié de la mentionner), mais triviale, et donc in fine l'analyse conduit à se focaliser sur le cas de 3 grands-pères.