Nombres premiers et équations algébriques.

Pablo_de_retour · June 2019

Bonsoir à tous,

Soit $ p $ un entier relatif.
Alors, il existe une famille finie $ (a_i)_{i = 0 , \dots , n } \in \{ 0 \ , \dots , 9 \}^n $ telle que $ p $ se met en système décimal sous la forme : $ p = P (10) = \displaystyle \sum_{i=0}^{n} a_i . 10^i $ avec : $ P (x) = \displaystyle \sum_{i=0}^{n} a_i x^i $ un polynôme de degré $ n $.
On sait d'après d'Alembert que : $ P $ se factorise sous la forme : $ P (x) = b_{n+1} \displaystyle \prod_{i=0}^{n} ( x - b_i ) $
Par conséquent, $ p = P(10) = b_{n+1} \displaystyle \prod_{i=0}^{n} ( 10 - b_i ) $
Ma question est :
Y'a-t-il une condition nécessaire et suffisante à mettre sur les $ b_i $ pour $ i = 0 , \dots , n , n+1 $ pour que $ p $ soit premier ?

Merci d'avance.

reuns · June 2019

Remplace $10$ par $2$ pour avoir toujours que $a_{n+1} = 1$ donc $P(X)$ est unitaire et ses racines sont des entiers algébriques.

Factorise $P(X) = \prod_j Q_j(X)$ dans $\Bbb{Z}[X]$.

$P(2)$ est premier implique que $Q_1(2) = \pm p$ et pour $j > 1$, $Q_j(2) = \pm 1$.

Soit $O_K$ l'anneau d'entiers de $K = \Bbb{Q}(\bigcup_{i,j} b_{j,i})$ où $Q_j(X) = \prod_i (X-b_{j,i})$ et $m = [K:\Bbb{Q}]$.

Alors $\# O_K/(2-b_{j,i}) = |N_{K/\Bbb{Q}}(2-b_{j,i})| = |Q_j(2)^{m/\deg(Q_j)}|= 1$ donc $2-b_{j,i} \in O_K^\times$ pour $j > 1$

et $(2-b_{1,1}))$ est un idéal de $O_K$ de norme $p^{m/\deg(Q_1)}$.

Pablo_de_retour · June 2019

Voici quelques remarques que je fais :
Pour que $ p $ soit un entier, il faut que les $ b_i $ soit des entiers relatifs. En plus il faut qu'ils se mettent sous la forme : $ b_i = Q_i (10) = \displaystyle \sum_{j = 0 }^{n_{i}} c_{j,i} . 10^{n_{i}} $ avec : $ Q_i (x) = \displaystyle \sum_{j = 0 }^{n_{i}} c_{j,i} x^{n_{i}} $ un polynôme de degré $ n_i $, et que $ n_1 , \dots , n_{n+1} \leq n $ ( Il me semble qu'il faut meme que : $ n_1 + \dots + n_{n+1} < n $, non ? ).
et donc : $ p = P(10) = Q_{n+1} (10) \displaystyle \prod_{i=1}^{n} ( 10 - Q_i (10 ) ) = \displaystyle \prod_{i=1}^{n+1} Q_i' (10) $ avec : $ \displaystyle \sum_{1 = 0 }^{n+1} \mathrm{deg} Q_i' < \mathrm{deg} P $. Non ?

edit : Croisement avec le message de reuns que je remercie pour sa réponse. :-)

Pablo_de_retour · June 2019

Bonsoir reuns,

Certaines de tes notations me sont un peu ambiguës vu que je ne suis pas familier avec la théorie des nombres.
Je préfère aussi rester dans le système décimal au lieu de binaire.
Mon but finalement, étant donné un entier relatif $p$, décider si $ p $ est premier ou non.
Si on admet qu'on sait résoudre désormais les équations algébriques de tout degré par radicaux, et si on prend un entier $ p $ qui lorsqu'on le factorise par cette nouvelle méthode de résolution par radicaux, est ce qu'on peut décider, à partir des deux postes précédents, si $ p $ est premier ou non ?

Merci d'avance.

reuns · June 2019

Je suppose que ce que tu ne comprends pas c'est $\# O_K/(2-b_{j,i}) = |N_{K/\Bbb{Q}}(2-b_{j,i})| = |Q_j(2)^{m/\deg(Q_j)}|= 1$

Prends $O_K = \Bbb{Z}[\, i]$ et $c = a+ib$ alors l'anneau quotient $\Bbb{Z}[\, i]/(c)$ a $a^2+b^2$ éléments.

Ce que j'ai écrit c'est la généralisation -le lien entre "field norm" et "ideal norm" - dont la preuve est :

prends un corps de nombre $K$, son anneau d'entiers $O_K$, un isomophisme de groupe $\phi : O_K \to \Bbb{Z}^m$

Alors $\phi(c O_K)= M \Bbb{Z}^m$ pour une certaine matrice $M$,

$N((c))=\# O_K/(c) $ est l'ideal norm"

$\# O_K/(c) = |\det(M)|$

$\det(M) = N_{K/\Bbb{Q}}(c)$ est la "field norm"

enfin les éléments $\sigma_l$ du groupe de Galois permettent de diagonaliser $M$ et d'obtenir $\det(M) = \prod_l \sigma_l(c)$.

On sait exprimer $\prod_l \sigma_l(c)$ en terme du polynôme minimal de $c$.

Pablo_de_retour · June 2019

C'est joli reuns. :-)
Merci.

Nombres premiers et équations algébriques.

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