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Forme modulaire, $span(\bigcup f(\gamma(z)))$

Envoyé par reuns 
Forme modulaire, $span(\bigcup f(\gamma(z)))$
il y a cinq mois
Soit $f(z)$ analytique sur $\Im(z) > 0$, on identifie $ \frac{az+b}{cz+d}$ à $\scriptstyle\pmatrix{a & b \\ c & d}$.

$\qquad $ Soit $V_f$ l'espace vectoriel généré par les $f(\gamma(z)), \gamma \in SL_2(\Bbb{Z})$.

Question : Si $V_f$ est de dimension finie, est-ce que $f$ est une combinaison linéaire de formes modulaires ? (en enlevant la condition d'holomorphie aux cusps dans la définition de forme modulaire)

Si $f$ est une forme modulaire de poids $k$ alors $f(\gamma(z)) = (cz+d)^k f(z)$ et les $(cz+d)^k$ génèrent $ \Bbb{C}[z]_k $ l'ensemble des polynômes de degré $\le k$ donc $V_f = f(z) \Bbb{C}[z]_k$ est de dimension $k+1$. Si $g$ est une forme modulaire de poids $m \ne k$ alors $V_{f+g} = f(z) \Bbb{C}[z]_k + g(z) \Bbb{C}[z]_m$.



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