Sous-espaces de $(\Z / p^k \Z)^d$

reuns · June 2019

Soit l'anneau $R = \Z / p^k \Z$, $R^d$ est un $\Z$-module.
Soit $V_{p^k,d}(\Z)$ le sous-$\Z$-module de $R^d$ généré par les $(1,n,n^2,\ldots,n^{d-1}),~ n \in \Z$.

Étant donné $A \subset \Z$, comment voir si $V_{p^k,d}(A) = V_{p^k,d}(\Z)$ et $\mathrm{Hom}(V_{p^k,d}(A),R) = \mathrm{Hom}(V_{p^k,d}(\Z),R)$ ?

Ssi "pour tout $p^k,d, ~ \mathrm{Hom}(V_{p^k,d}(A),R) = \mathrm{Hom}(V_{p^k,d}(\Z),R)$" alors "$f \in \Q[x]$ prend des valeurs entières sur $\Z$ ssi $f$ prend des valeurs entières sur $A$".

aurelpage · June 2019

Salut reuns,

Est-ce que tu demandes comment vérifier cette égalité pour un $(p,k,d)$ donné (problème algorithmique, que tu peux facilement résoudre avec une HNF) ou pour tout $(p,k,d)$ ?

Sinon, je pense qu'une CNS sur $A$ pour avoir (pour tout $f\in\Q[x]$, $f(\Z)\subset\Z$ ssi $f(A)\subset\Z$) est que $A$ rencontre toute classe de congruence.

Sens direct: soit $\mathbf{A} = \Q\otimes\widehat{\Z}$, qui est un anneau topologique contenant $\Q$. Alors $\widehat{\Z}$ est fermé dans $\mathbf{A}$ et $\widehat{Z}\cap \Q = \Z$. Soit $A\subset \Z$ dense dans $\widehat{\Z}$, et soit $f\in\Q[x]$ tel que $f(A)\subset \Z$. Alors $f$ définit une fonction continue $\mathbf{A}\to\mathbf{A}$ telle que $f(A)\subset \widehat{\Z}$, donc $f(\widehat{\Z})\subset \widehat{\Z}$ par densité et fermeture, et en particulier $f(\Z)\subset \widehat{\Z}\cap\Q=\Z$.
La condition $A$ dense dans $\widehat{\Z}$ est équivalente à ce que $A$ rencontre toute classe de congruence, par définition de la topologie sur $\widehat{\Z}$.

Sens indirect: $f = \frac{1}{n}\prod_{0\le k<n,\, k=a\bmod{n}}(x-k)$ prend des valeurs entières sur toutes les classes de congruences mod $n$ sauf $a$.

Amicalement,
Aurel

reuns · June 2019

À la fin tu veux dire que $f(x)=\prod_{k\ \not \equiv\ a\ \bmod\ n} (x-k)$ est supportée sur $a$ comme fonction $\Z/n\Z \to \Z/n\Z$ ?

Avec $p = 3$ et $n = p^2$ et $a=p$ alors $f(x)=\prod_{k\ \not \equiv\ p\ \bmod\ p^2} (x-k)$ est supportée sur $p$ et $f(p) \equiv (p-0)(p-2p)\ldots \equiv 0 \bmod p^2$ donc en fait elle est nulle partout comme fonction $\Z/p^2 \Z \to \Z/p^2\Z$.

Si $A$ rencontre toute classe de congruence alors clairement $f \in \Q[x]$ est entière sur $\Z$ ssi elle est entière sur $A$. Ma question c'est si on peut avoir $A$ plus petit (en général ou sous certaines contraintes sur $f$).

$\qquad$ Soit $f \in \Z[x]$, si $f(0) = f(ap) = 0 \bmod p^2$ où $p\nmid a$ alors tout $b, f(bp) = 0 \bmod p^2$.

$f(0) = 0 \bmod p^2$ donne $f(x) = x g(x) +p^2 w(x)$

$ap\ g(ap)=f(ap) =0 \bmod p^2$ donne $g(0) = g(ap) = 0 \bmod p$ donc $g(x) = x u(x)+ p v(x)$

donc $f(x) = x^2 u(x) + x pv(x)+p^2 w(x)$ et $f(bp ) =0 \bmod p^2$ pour tout $b$.

aurelpage · June 2019

Ah oui en effet, j'avais raté ça dans mon contre-exemple ! C'est plus compliqué.

Tu n'as pas répondu à ma question : qu'est-ce que tu demandes, un moyen général de vérifier une telle égalité pour tout $(p,k,d)$ ou pour un $(p,k,d)$ donné ?

Aurel

aurelpage · June 2019

Bon, je fais une autre tentative.

Soit $p$ premier, toutes les valuations que j'écris sont $p$-adiques.

Soit $f_i(X) = \frac{1}{p^{i(p-1)}}\prod_{u=1}^{p-1}(X-p^iu)\in\Q[X]$. Alors pour tout $x\in\Q_p$ on a $v(f_i(x)) = (p-1)(v(x)-i)$ si $v(x)<i$, on a $v(f_i(x))\ge 1$ si $v(x)=i$, et on a $v(f_i(x))=0$ si $v(x)>i$.

Posons $F_n(X) = \prod_{i=0}^n f_i(X)^{a_i}\in\Q[X]$, où $a_n=1$ et pour $0\le i<n$, $a_i = 1+(p-1)\sum_{j=i+1}^n(j-i)a_j>0$.

Alors pour tout $x\in \Z_p$, on a $v(F_n(x)) \ge 1$ si $v(x)\le n$, et $v(F_n(x))=0$ si $v(x)\ge n+1$.

Finalement, on pose $G_n(X) = \frac{1}{p}F_n(X)\in \Q[X]$. Alors, sur $\Z$, $G_n$ prend des valeurs entières sur toutes les classes de congruences sauf $p^{n+1}\Z$.

Si je n'ai pas fait d'erreur de calcul, la condition ci-dessus est donc bien une CNS.

Aurel

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