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Exercice sur des polynômes

Envoyé par CarlFriedrichGauss 
Exercice sur des polynômes
le mois dernier
Bonjour,
Soient deux polynômes $P,Q$ dans $\Z [X]$ tels que $P(n)$ divise $Q(n)$ pour une infinité de cas. Alors est-ce que $P$ divise $Q$?
Merci,
CFGauss
Re: Exercice sur des polynômes
le mois dernier
Bonjour.

P(X)= 2 et Q(X)=X+1

Cordialement.
Re: Exercice sur des polynômes
le mois dernier
Bonjour

Si $P$ est unitaire, alors c'est vrai.

Si $R$ est le reste de la division euclidienne de $Q$ par $P$, alors une infinité d'entiers vérifient $P(n)|R(n)$ et donc si $R$ est non nul, $P(n) \le R(n)$ ce qui serait contradictoire avec une limite nulle en $+\infty$ de $R(n)/P(n)$ conséquence de $\deg(R)<\deg(P)$ et donc nécessairement $R=0$ donc $P$ divise $Q$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Polynômes et monômes
le mois dernier
Bonjour,
si $P'(n)$ divise $P(n)$ pour une infinité de cas et $\deg(P)\geq 2$ alors $P$ est-il un monôme ?
Merci,
CFGauss

[Restons dans la discussion que tu as ouverte avec tes exercices sur les polynômes. AD]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Polynômes et monômes
le mois dernier
Bonjour,

Faux
$P=(X+1)^2$ mais $P=(X+2)^3$ fait aussi l'affaire.
Re: Polynômes et monômes
le mois dernier
$(X+1)^2$ et $(X+2)^3$ sont des monômes il me semble...
Re: Exercice sur des polynômes
le mois dernier
Non
$(X+1)^2$ est un trinôme du second degré.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
Re: Exercice sur des polynômes
le mois dernier
Soit $P=P'Q+R,\ \deg(R) <\deg(P')$, la division euclidienne de $P$ par $P'$ dans $Q[X]$ et soit $a\in \N$ tel que $aQ,\ aR\in \Z[X] $, alors pour une infinité de $n$, $P'(n) \mid aR(n)$.
Si $R$ est non nul alors $P'(n)/R(n) \le a$ pour une infinité de $n$ ce qui n'est pas compatible avec $(P'/R) (n)$ tend vers $\pm\infty$ avec $n$. Donc $R=0$.
Puis $P'/P=\alpha/(X-a)$ donc $\alpha=\deg(P) \in \N^*$ et $P=A(X-a)^{\alpha}$

Le coefficient dominant de $P$ est dans $\Z$ donc $A \in \Z$. En considérant le terme en $X^{\alpha-1}$, on déduit que $a \in \Q$. En examinant le coefficient de plus bas degré on a $Aa^{\alpha} \in \Z$ (1) et donc si on écrit $a=p/q$, $p$ et $q$ premiers entre eux, on a $A/q^{\alpha} \in \Z$ (lemme de Gauss appliqué à (1) et avec $p^\alpha$ premier avec $q^\alpha$), puis $P=(A/q^{\alpha}) (qX-p)^{\alpha}$.

Condition nécessaire.
$P$ s'écrit nécessairement $P=B(qX-p)^{\alpha},\ B,\ p,\ q \in \Z,\ \alpha \in \N^*$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux.
Pour qu'un tel polynôme réponde à la question il faut qu'une infinité d'entiers $n$ vérifient $\alpha q \mid qn-p$, et ceci n'arrive jamais si $q$ est différent de $1$ car $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Donc $P$ s'écrit $P=B(X-p)^{\alpha}$.

Réciproque. Soit $P$ de ce type, il existe une infinité d'entiers tels que $\alpha \mid n-p$ et donc $P=B(X-p)^{\alpha} $ est solution.



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
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