Multiple d'un polynôme avec moins de coeff
dans Arithmétique
Bonjour
Dans la suite, polynôme signifie polynôme en une indéterminée à coefficients dans un anneau $A$.
Pour $P\in A[X]$, je pose :
$C(P)$ le nombre de coefficients non nuls de $P$. (Par exemple, $C(X)=1$, $C(X^3-4X+2)=3$.)
$(P)^*$ l'ensemble des multiples non nuls de $P$.
$N(P)=\inf_{M\in (P)^*} C(M)$
Par exemple, pour $P=X^4+X^3+X^2+X+1$, on a $C(P)=5$, mais $N(P)=2$ puisque $P\cdot (X-1)=X^5-1$. D'où $N(P)=2$ (puisque ce n'est visiblement pas $1$).
Plus généralement, le fait d'avoir $N(P)=2$ est très lié à ce que $P$ un produit de polynômes cyclotomiques (sauf qu'il y a potentiellement des facteurs $X$).
Est-ce que la fonction $P \mapsto N(P)$ a déjà un nom ?
D'autre part, je suis intéressé par un calcul effectif de $N(P)$ (disons si $A=\mathbf Q$). Si on se restreint à des multiples $M$ de degré borné, alors trouver le minimum est une question d'algèbre linéaire, mais peut-on borner a priori le degré de $M$ ?
Je pense que dans le cas générique (\emph{i.e.} si $A$ est un anneau de polynômes en des indéterminées qui sont les coefficients de $P$), l'entier $N(P)$ doit avoir un rapport avec le 13ème problème de Hilbert. Si quelqu'un sait quelque chose là-dessus, je suis preneur.
Dans la suite, polynôme signifie polynôme en une indéterminée à coefficients dans un anneau $A$.
Pour $P\in A[X]$, je pose :
$C(P)$ le nombre de coefficients non nuls de $P$. (Par exemple, $C(X)=1$, $C(X^3-4X+2)=3$.)
$(P)^*$ l'ensemble des multiples non nuls de $P$.
$N(P)=\inf_{M\in (P)^*} C(M)$
Par exemple, pour $P=X^4+X^3+X^2+X+1$, on a $C(P)=5$, mais $N(P)=2$ puisque $P\cdot (X-1)=X^5-1$. D'où $N(P)=2$ (puisque ce n'est visiblement pas $1$).
Plus généralement, le fait d'avoir $N(P)=2$ est très lié à ce que $P$ un produit de polynômes cyclotomiques (sauf qu'il y a potentiellement des facteurs $X$).
Est-ce que la fonction $P \mapsto N(P)$ a déjà un nom ?
D'autre part, je suis intéressé par un calcul effectif de $N(P)$ (disons si $A=\mathbf Q$). Si on se restreint à des multiples $M$ de degré borné, alors trouver le minimum est une question d'algèbre linéaire, mais peut-on borner a priori le degré de $M$ ?
Je pense que dans le cas générique (\emph{i.e.} si $A$ est un anneau de polynômes en des indéterminées qui sont les coefficients de $P$), l'entier $N(P)$ doit avoir un rapport avec le 13ème problème de Hilbert. Si quelqu'un sait quelque chose là-dessus, je suis preneur.
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Réponses
Plus généralement pour tout $P$ appartenant à $A[X]$, si $N(P)=2$ il existe un entier $n$ et $m$ ainsi qu’un nombre $k$ appartenant à $A$ tel que $P$ divise $$x^{n+m} -kx^{n}$$ Ce polynôme est un polynôme cyclotomique si $k = 1$, auquel on a rajouté un facteur $x^{n}$.
Le problème c'est que $N(P) = 3$ ou $4$ ne nous apprend pas grand chose sur le polynôme
D'autre part on est tenté de regarder $N_1(P) = \min_{a,Q} C( P(X+a) Q(X))$ voire $N_2(P)=\min_{Q,R} C( P(R(X)) Q(X))$
et on tombe vite sur l'idée que rien ne vaut les paramètres construits à partir du corps de décomposition de $P$ plutôt qu'à partir de $P$ lui-même
Toujours est-il que c'est elle qui m'intéresse. La véritable question est de savoir comment calculer $N(P)$ pour un $P$ donné...