Tour d'Iwasawa

Pour $p$ impair une $\Bbb{Z}_p$-extension de $\Bbb{Q}$ s'obtient en disant que $$G=Gal(\Bbb{Q}(e^{2i \pi /p^\infty})/\Bbb{Q}) = \Bbb{Z}_p^\times = \mu^{\Bbb{Z/(p-1) Z}} \times (1+p\Bbb{Z}_p) = \langle \sigma \rangle \times (1+p)^{\Bbb{Z}_p}$$ où $g \in \Bbb{Z}$ est un générateur de $\Bbb{F}_p^\times$, $\mu = g^{p^\infty} \in \Bbb{Z}_p$ est une racine primitive $p-1$-ème de l'unité et $\sigma \in Gal(\Bbb{Q}(e^{2i \pi /p^\infty})/\Bbb{Q}) $ est défini par $$\sigma(e^{2i \pi a/p^n}) = e^{2i \pi (a\mu\ \bmod\ p^n) / p^n}=e^{2i \pi a g^{p^n} / p^n}$$

donc avec $K = \Bbb{Q}(e^{2i \pi / p^\infty})^\sigma$ le sous-corps fixé par $\sigma$ on a

$$Gal(K/\Bbb{Q}) =G/\langle \sigma \rangle \cong (1+p)^{\Bbb{Z}_p}\cong \Bbb{Z}_p$$

Pour tout corps de nombre $F$ alors $Gal(FK/F)$ est un sous-groupe d'indice fini de $Gal(K/\Bbb{Q})$ donc $FK/F$ est une $\Bbb{Z}_p$ extension.

Pour $p=2$ c'est pareil sauf que $\Bbb{Z}_2^\times =1+2\Bbb{Z}_2= \mu^{\Bbb{Z/2 Z}} \times (1+2)^{\Bbb{Z}_2}$, $\quad \mu = -1$ et $\sigma(e^{2i \pi a/2^n}) = e^{-2i \pi a/2^n}$ est la conjugaison complexe donc $K =\Bbb{Q}(e^{2i \pi /2^\infty}) \cap \Bbb{R} = \Bbb{Q}(\cos(2\pi / 2^\infty))$. Ses automorphismes sont de la forme $\rho_u(\cos(2\pi /2^n)) = \cos(2\pi 3^{u \ \bmod\ 2^n} / 2^n)$ pour $u \in \Bbb{Z}_2$.