Tour d'Iwasawa
dans Arithmétique
Bonjour
Je n'ai pas de connaissances sur la théorie d'Iwasawa. Mais j'ai envie de savoir une chose.
Je veux des exemples de $\mathbb Z_p$-extensions (resp. $\mathbb Z_2 $ -extensions) d'un corps de nombre donné.
Est-ce qu'il y a une méthode de construire les $\mathbb Z_2 $-extensions d'un corps donné $K$.
Est-ce que $\mathbb Q(\zeta_{p^n})$ avec $n=2,3,4,\ldots$ (resp. $\mathbb Q(\zeta_{2^n})$) est un $n$-ème étage d'une certaine $\mathbb Z_p$-extension (resp. $\mathbb Z_2 $-extension ) ? La quelle ?
Merci.
Je n'ai pas de connaissances sur la théorie d'Iwasawa. Mais j'ai envie de savoir une chose.
Je veux des exemples de $\mathbb Z_p$-extensions (resp. $\mathbb Z_2 $ -extensions) d'un corps de nombre donné.
Est-ce qu'il y a une méthode de construire les $\mathbb Z_2 $-extensions d'un corps donné $K$.
Est-ce que $\mathbb Q(\zeta_{p^n})$ avec $n=2,3,4,\ldots$ (resp. $\mathbb Q(\zeta_{2^n})$) est un $n$-ème étage d'une certaine $\mathbb Z_p$-extension (resp. $\mathbb Z_2 $-extension ) ? La quelle ?
Merci.
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Réponses
donc avec $K = \Bbb{Q}(e^{2i \pi / p^\infty})^\sigma$ le sous-corps fixé par $\sigma$ on a
$$Gal(K/\Bbb{Q}) =G/\langle \sigma \rangle \cong (1+p)^{\Bbb{Z}_p}\cong \Bbb{Z}_p$$
Pour tout corps de nombre $F$ alors $Gal(FK/F)$ est un sous-groupe d'indice fini de $Gal(K/\Bbb{Q})$ donc $FK/F$ est une $\Bbb{Z}_p$ extension.
Pour $p=2$ c'est pareil sauf que $\Bbb{Z}_2^\times =1+2\Bbb{Z}_2= \mu^{\Bbb{Z/2 Z}} \times (1+2)^{\Bbb{Z}_2}$, $\quad \mu = -1$ et $\sigma(e^{2i \pi a/2^n}) = e^{-2i \pi a/2^n}$ est la conjugaison complexe donc $K =\Bbb{Q}(e^{2i \pi /2^\infty}) \cap \Bbb{R} = \Bbb{Q}(\cos(2\pi / 2^\infty))$. Ses automorphismes sont de la forme $\rho_u(\cos(2\pi /2^n)) = \cos(2\pi 3^{u \ \bmod\ 2^n} / 2^n)$ pour $u \in \Bbb{Z}_2$.
à mon humble avis, l'exemple le plus simple de $\Z_p$-extension est de considérer $K=\Q(\zeta_p)$ et $K_\infty=\Q(\zeta_{p^\infty})$, extension de $\Q$ contenant toutes les racines $p^n$-ièmes. Dans ce cas $gal(K_\infty/K)=\Z_p$.
Cet exemple est valable pour $p$ impair pour $p=2$, mes vieux souvenirs ne me permettent hélas pas d'en dire plus. Ceci dit qu'elle idée les nombres premiers pairs ;-)
Bonne journée
F.
@malavita : pour que ton exemple marche aussi pour $p=2$ je pense qu'il faut prendre $K = \Q(\zeta_{2p})$.
Notez aussi que le paragraphe wikipédia du lien ci-dessus est faux : le $\mathbb{B}_n$ qu'ils écrivent est le sous-corps totalement réel de l'extension cyclotomique; ce n'est une $\Z_p$-extension que si $p=2$ ou $p=3$.
Amitiés,
Aurel