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Tour d'Iwasawa

Envoyé par dig 
dig
Tour d'Iwasawa
il y a cinq mois
Bonjour
Je n'ai pas de connaissances sur la théorie d'Iwasawa. Mais j'ai envie de savoir une chose.
Je veux des exemples de $\mathbb Z_p$-extensions (resp. $\mathbb Z_2 $ -extensions) d'un corps de nombre donné.

Est-ce qu'il y a une méthode de construire les $\mathbb Z_2 $-extensions d'un corps donné $K$.
Est-ce que $\mathbb Q(\zeta_{p^n})$ avec $n=2,3,4,\ldots$ (resp. $\mathbb Q(\zeta_{2^n})$) est un $n$-ème étage d'une certaine $\mathbb Z_p$-extension (resp. $\mathbb Z_2 $-extension ) ? La quelle ?
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Tour d'Iwasawa
il y a cinq mois
Je n'y connais rien mais ce paragraphe t'apportera peut-être quelque chose déjà.
Re: Tour d'Iwasawa
il y a cinq mois
Pour $p$ impair une $\Bbb{Z}_p$-extension de $\Bbb{Q}$ s'obtient en disant que $$G=Gal(\Bbb{Q}(e^{2i \pi /p^\infty})/\Bbb{Q}) = \Bbb{Z}_p^\times = \mu^{\Bbb{Z/(p-1) Z}} \times (1+p\Bbb{Z}_p) = \langle \sigma \rangle \times (1+p)^{\Bbb{Z}_p}$$ où $g \in \Bbb{Z}$ est un générateur de $\Bbb{F}_p^\times$, $\mu = g^{p^\infty} \in \Bbb{Z}_p$ est une racine primitive $p-1$-ème de l'unité et $\sigma \in Gal(\Bbb{Q}(e^{2i \pi /p^\infty})/\Bbb{Q}) $ est défini par $$\sigma(e^{2i \pi a/p^n}) = e^{2i \pi (a\mu\ \bmod\ p^n) / p^n}=e^{2i \pi a g^{p^n} / p^n}$$

donc avec $K = \Bbb{Q}(e^{2i \pi / p^\infty})^\sigma$ le sous-corps fixé par $\sigma$ on a

$$Gal(K/\Bbb{Q}) =G/\langle \sigma \rangle \cong (1+p)^{\Bbb{Z}_p}\cong \Bbb{Z}_p$$

Pour tout corps de nombre $F$ alors $Gal(FK/F)$ est un sous-groupe d'indice fini de $Gal(K/\Bbb{Q})$ donc $FK/F$ est une $\Bbb{Z}_p$ extension.

Pour $p=2$ c'est pareil sauf que $\Bbb{Z}_2^\times =1+2\Bbb{Z}_2= \mu^{\Bbb{Z/2 Z}} \times (1+2)^{\Bbb{Z}_2}$, $\quad \mu = -1$ et $\sigma(e^{2i \pi a/2^n}) = e^{-2i \pi a/2^n}$ est la conjugaison complexe donc $K =\Bbb{Q}(e^{2i \pi /2^\infty}) \cap \Bbb{R} = \Bbb{Q}(\cos(2\pi / 2^\infty))$. Ses automorphismes sont de la forme $\rho_u(\cos(2\pi /2^n)) = \cos(2\pi 3^{u \ \bmod\ 2^n} / 2^n)$ pour $u \in \Bbb{Z}_2$.



Edité 7 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par reuns.
Re: Tour d'Iwasawa
il y a cinq mois
Bonjour,

à mon humble avis, l'exemple le plus simple de $\Z_p$-extension est de considérer $K=\Q(\zeta_p)$ et $K_\infty=\Q(\zeta_{p^\infty})$, extension de $\Q$ contenant toutes les racines $p^n$-ièmes. Dans ce cas $gal(K_\infty/K)=\Z_p$.
Cet exemple est valable pour $p$ impair pour $p=2$, mes vieux souvenirs ne me permettent hélas pas d'en dire plus. Ceci dit qu'elle idée les nombres premiers pairs winking smiley

Bonne journée

F.
dig
Re: Tour d'Iwasawa
il y a cinq mois
Merci pour vous tous !, Poirot, reuns et malavita.
Re: Tour d'Iwasawa
il y a cinq mois
Salut,

@malavita : pour que ton exemple marche aussi pour $p=2$ je pense qu'il faut prendre $K = \Q(\zeta_{2p})$.

Notez aussi que le paragraphe wikipédia du lien ci-dessus est faux : le $\mathbb{B}_n$ qu'ils écrivent est le sous-corps totalement réel de l'extension cyclotomique; ce n'est une $\Z_p$-extension que si $p=2$ ou $p=3$.

Amitiés,
Aurel
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