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Tour d'Iwasawa

Envoyé par dig 
dig
Tour d'Iwasawa
l’an passé
Bonjour
Je n'ai pas de connaissances sur la théorie d'Iwasawa. Mais j'ai envie de savoir une chose.
Je veux des exemples de $\mathbb Z_p$-extensions (resp. $\mathbb Z_2 $ -extensions) d'un corps de nombre donné.

Est-ce qu'il y a une méthode de construire les $\mathbb Z_2 $-extensions d'un corps donné $K$.
Est-ce que $\mathbb Q(\zeta_{p^n})$ avec $n=2,3,4,\ldots$ (resp. $\mathbb Q(\zeta_{2^n})$) est un $n$-ème étage d'une certaine $\mathbb Z_p$-extension (resp. $\mathbb Z_2 $-extension ) ? La quelle ?
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Tour d'Iwasawa
l’an passé
Je n'y connais rien mais ce paragraphe t'apportera peut-être quelque chose déjà.
Re: Tour d'Iwasawa
l’an passé
Pour $p$ impair une $\Bbb{Z}_p$-extension de $\Bbb{Q}$ s'obtient en disant que $$G=Gal(\Bbb{Q}(e^{2i \pi /p^\infty})/\Bbb{Q}) = \Bbb{Z}_p^\times = \mu^{\Bbb{Z/(p-1) Z}} \times (1+p\Bbb{Z}_p) = \langle \sigma \rangle \times (1+p)^{\Bbb{Z}_p}$$ où $g \in \Bbb{Z}$ est un générateur de $\Bbb{F}_p^\times$, $\mu = g^{p^\infty} \in \Bbb{Z}_p$ est une racine primitive $p-1$-ème de l'unité et $\sigma \in Gal(\Bbb{Q}(e^{2i \pi /p^\infty})/\Bbb{Q}) $ est défini par $$\sigma(e^{2i \pi a/p^n}) = e^{2i \pi (a\mu\ \bmod\ p^n) / p^n}=e^{2i \pi a g^{p^n} / p^n}$$

donc avec $K = \Bbb{Q}(e^{2i \pi / p^\infty})^\sigma$ le sous-corps fixé par $\sigma$ on a

$$Gal(K/\Bbb{Q}) =G/\langle \sigma \rangle \cong (1+p)^{\Bbb{Z}_p}\cong \Bbb{Z}_p$$

Pour tout corps de nombre $F$ alors $Gal(FK/F)$ est un sous-groupe d'indice fini de $Gal(K/\Bbb{Q})$ donc $FK/F$ est une $\Bbb{Z}_p$ extension.

Pour $p=2$ c'est pareil sauf que $\Bbb{Z}_2^\times =1+2\Bbb{Z}_2= \mu^{\Bbb{Z/2 Z}} \times (1+2)^{\Bbb{Z}_2}$, $\quad \mu = -1$ et $\sigma(e^{2i \pi a/2^n}) = e^{-2i \pi a/2^n}$ est la conjugaison complexe donc $K =\Bbb{Q}(e^{2i \pi /2^\infty}) \cap \Bbb{R} = \Bbb{Q}(\cos(2\pi / 2^\infty))$. Ses automorphismes sont de la forme $\rho_u(\cos(2\pi /2^n)) = \cos(2\pi 3^{u \ \bmod\ 2^n} / 2^n)$ pour $u \in \Bbb{Z}_2$.



Edité 7 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par reuns.
Re: Tour d'Iwasawa
l’an passé
Bonjour,

à mon humble avis, l'exemple le plus simple de $\Z_p$-extension est de considérer $K=\Q(\zeta_p)$ et $K_\infty=\Q(\zeta_{p^\infty})$, extension de $\Q$ contenant toutes les racines $p^n$-ièmes. Dans ce cas $gal(K_\infty/K)=\Z_p$.
Cet exemple est valable pour $p$ impair pour $p=2$, mes vieux souvenirs ne me permettent hélas pas d'en dire plus. Ceci dit qu'elle idée les nombres premiers pairs winking smiley

Bonne journée

F.
dig
Re: Tour d'Iwasawa
l’an passé
Merci pour vous tous !, Poirot, reuns et malavita.
Re: Tour d'Iwasawa
l’an passé
avatar
Salut,

@malavita : pour que ton exemple marche aussi pour $p=2$ je pense qu'il faut prendre $K = \Q(\zeta_{2p})$.

Notez aussi que le paragraphe wikipédia du lien ci-dessus est faux : le $\mathbb{B}_n$ qu'ils écrivent est le sous-corps totalement réel de l'extension cyclotomique; ce n'est une $\Z_p$-extension que si $p=2$ ou $p=3$.

Amitiés,
Aurel
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