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Quotient de 2 entiers premiers entre eux

Envoyé par ercc 
Quotient de 2 entiers premiers entre eux
il y a cinq mois
Bonsoir
Je bloque actuellement sur un petit problème qui, je pense, est en réalité tout simple :
Pendant un exercice, je me suis retrouvé avec une fraction de la forme $a=\frac{2^n}{3}$.
En fait, je souhaite montrer que a ne peut pas être un entier (raisonnement absurde).
Alors, je fais ma preuve avec un raisonnement par récurrence de la forme suivante : $\frac{2^n}{3}$ n'est pas entier et n'est pas multiple de 0,5. Pour l'initialisation pas de soucis, pareil pour l'hérédité (pas multiple de 0,5 donc $\frac{2^n}{3} * 2$ n'est pas entier et donc on vérifie l'ordre n+1).
Cependant, même après l'avoir revérifiée je n'arrive pas à être convaincu par cette démonstration.
De plus je me suis alors posé une question découlant de cette fraction : est-ce que le quotient de deux entiers premiers entre eux avec exposant entier au numérateur de cette forme : $\frac{q^n}{p}$ est nécessairement différent d'un entier ?

Merci pour votre temps.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Quotient de 2 entiers premiers entre eux
il y a cinq mois
Bonjour,
Par l'absurde: si la fraction 2^n / 3 était un entier, alors 2^n serait divisible par 3. Penses-tu que ce soit possible?
De manière générale: si tes entiers p et q sont premiers entre eux, alors tu ne peux pas simplifier la fraction, et il n'est pas possible d'obtenir un quotient entier.
Re: Quotient de 2 entiers premiers entre eux
il y a cinq mois
Bonsoir,

Lemme de Gauss : si $a$ divise $bc$ et est premier avec $b$ alors $a$ divise $c$.
Ça permet de répondre aussi à la 2 ème question : si $a$ est premier avec $b$ alors $a$ est premier avec $b^n, n>1$

Ce qui suit est du détail : ce n'est pas un raisonnement par l'absurde. On constate que la proposition P : $2^n$ divisible par $3$ est fausse. Donc on peut affirmer que son contraire est vrai.
Un raisonnement par l'absurde c'est lorsqu'on a une double négation de P qui est vraie alors on peut en déduire que P est vraie.
Re: Quotient de 2 entiers premiers entre eux
il y a cinq mois
Merci pour votre réponse, ça me paraît tout de suite plus clair !

Bonne soirée.
Dom
Re: Quotient de 2 entiers premiers entre eux
il y a cinq mois
Attention au piètre cas : p=q=1 ce qui était certainement sous-entendu.
Re: Quotient de 2 entiers premiers entre eux
il y a cinq mois
Du coup, j'aimerai juste être sûr que ma preuve soit correcte et rigoureuse (beaucoup de détail je sais, c'est histoire de savoir si le raisonnement est juste) :


Soit $a=\frac{2^n}{3}$ avec n entier naturel.
On suppose alors que a est entier naturel. Ainsi, on en déduit que 3 divise $2^n=2^{(n-1)}*2$.
3 et 2 sont premiers entre eux, donc d'après Lemme de Gauss 3 divise $2^{n-1}$.
Or, $2^{(n-1)}=2^{n-2}*2$. Ainsi, on réitère n-2 fois ce qui a été fait précédement jusqu'à obtenir l'assertion '3 divise 2', ce qui est absurde.
Donc 3 ne divise pas $2^n$ et ce peu importe la valeur de n.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par ercc.
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