Quotient de 2 entiers premiers entre eux

Bonsoir
Je bloque actuellement sur un petit problème qui, je pense, est en réalité tout simple :
Pendant un exercice, je me suis retrouvé avec une fraction de la forme $a=\frac{2^n}{3}$.
En fait, je souhaite montrer que a ne peut pas être un entier (raisonnement absurde).
Alors, je fais ma preuve avec un raisonnement par récurrence de la forme suivante : $\frac{2^n}{3}$ n'est pas entier et n'est pas multiple de 0,5. Pour l'initialisation pas de soucis, pareil pour l'hérédité (pas multiple de 0,5 donc $\frac{2^n}{3} * 2$ n'est pas entier et donc on vérifie l'ordre n+1).
Cependant, même après l'avoir revérifiée je n'arrive pas à être convaincu par cette démonstration.
De plus je me suis alors posé une question découlant de cette fraction : est-ce que le quotient de deux entiers premiers entre eux avec exposant entier au numérateur de cette forme : $\frac{q^n}{p}$ est nécessairement différent d'un entier ?

Merci pour votre temps.