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Quotient de 2 entiers premiers entre eux

Envoyé par ercc 
Quotient de 2 entiers premiers entre eux
l’an passé
Bonsoir
Je bloque actuellement sur un petit problème qui, je pense, est en réalité tout simple :
Pendant un exercice, je me suis retrouvé avec une fraction de la forme $a=\frac{2^n}{3}$.
En fait, je souhaite montrer que a ne peut pas être un entier (raisonnement absurde).
Alors, je fais ma preuve avec un raisonnement par récurrence de la forme suivante : $\frac{2^n}{3}$ n'est pas entier et n'est pas multiple de 0,5. Pour l'initialisation pas de soucis, pareil pour l'hérédité (pas multiple de 0,5 donc $\frac{2^n}{3} * 2$ n'est pas entier et donc on vérifie l'ordre n+1).
Cependant, même après l'avoir revérifiée je n'arrive pas à être convaincu par cette démonstration.
De plus je me suis alors posé une question découlant de cette fraction : est-ce que le quotient de deux entiers premiers entre eux avec exposant entier au numérateur de cette forme : $\frac{q^n}{p}$ est nécessairement différent d'un entier ?

Merci pour votre temps.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Quotient de 2 entiers premiers entre eux
l’an passé
Bonjour,
Par l'absurde: si la fraction 2^n / 3 était un entier, alors 2^n serait divisible par 3. Penses-tu que ce soit possible?
De manière générale: si tes entiers p et q sont premiers entre eux, alors tu ne peux pas simplifier la fraction, et il n'est pas possible d'obtenir un quotient entier.
Re: Quotient de 2 entiers premiers entre eux
l’an passé
Bonsoir,

Lemme de Gauss : si $a$ divise $bc$ et est premier avec $b$ alors $a$ divise $c$.
Ça permet de répondre aussi à la 2 ème question : si $a$ est premier avec $b$ alors $a$ est premier avec $b^n, n>1$

Ce qui suit est du détail : ce n'est pas un raisonnement par l'absurde. On constate que la proposition P : $2^n$ divisible par $3$ est fausse. Donc on peut affirmer que son contraire est vrai.
Un raisonnement par l'absurde c'est lorsqu'on a une double négation de P qui est vraie alors on peut en déduire que P est vraie.
Re: Quotient de 2 entiers premiers entre eux
l’an passé
Merci pour votre réponse, ça me paraît tout de suite plus clair !

Bonne soirée.
Dom
Re: Quotient de 2 entiers premiers entre eux
l’an passé
Attention au piètre cas : p=q=1 ce qui était certainement sous-entendu.
Re: Quotient de 2 entiers premiers entre eux
l’an passé
Du coup, j'aimerai juste être sûr que ma preuve soit correcte et rigoureuse (beaucoup de détail je sais, c'est histoire de savoir si le raisonnement est juste) :


Soit $a=\frac{2^n}{3}$ avec n entier naturel.
On suppose alors que a est entier naturel. Ainsi, on en déduit que 3 divise $2^n=2^{(n-1)}*2$.
3 et 2 sont premiers entre eux, donc d'après Lemme de Gauss 3 divise $2^{n-1}$.
Or, $2^{(n-1)}=2^{n-2}*2$. Ainsi, on réitère n-2 fois ce qui a été fait précédement jusqu'à obtenir l'assertion '3 divise 2', ce qui est absurde.
Donc 3 ne divise pas $2^n$ et ce peu importe la valeur de n.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par ercc.
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